Centro de Homotecia Interno

Teoría

El centro de homotecia interno es un punto específico asociado con dos figuras homotéticas (casi siempre dos círculos) que sirve como el centro de una dilatación que mapea una figura en la otra con un factor de escala negativo. Geométricamente, para dos círculos que no son concéntricos, el centro de homotecia interno se encuentra en la línea que conecta sus centros, justo entre los dos centros. Es el punto donde se cruzan las dos tangentes comunes internas. Si los círculos se cortan o son tangentes, el centro interno sigue existiendo; si los círculos son tangentes por fuera, el punto de tangencia es el centro de homotecia interno.

Este concepto es una herramienta muy poderosa en la geometría de competencia porque transforma un círculo en otro mientras invierte su orientación. Si trazas una línea que pase por el centro de homotecia interno y que corte al primer círculo en el punto $A$, esta va a cortar al segundo círculo en un punto correspondiente $A'$ de tal forma que la tangente en $A$ es paralela a la tangente en $A'$. A diferencia del centro externo, que mapea "arriba con arriba", el centro interno mapea "arriba con abajo".

El centro de homotecia interno se usa seguido para demostrar colinealidad y concurrencia. Una aplicación clásica es el Teorema de Monge (Teorema de d'Alembert), que relaciona los centros externos e internos de tres círculos. Además, reconocer el centro interno te permite simplificar configuraciones complejas de dos círculos a problemas de un solo círculo, usando las propiedades de los triángulos semejantes y la preservación de razones.

Fórmulas Clave

Supón que tienes dos círculos con centros $O_1, O_2$ y radios $r_1, r_2$ respectivamente. Vamos a llamar $I$ al Centro de Homotecia Interno.

1. Razón de Homotecia La homotecia con centro en $I$ que mapea el círculo 1 al círculo 2 tiene una razón $k$: $$k = -\frac{r_2}{r_1}$$ El signo negativo indica que la imagen está invertida respecto al centro $I$.

2. Razón de Distancias El punto $I$ divide al segmento que conecta los centros internamente en la razón de los radios: $$\frac{IO_1}{IO_2} = \frac{r_1}{r_2}$$

3. Fórmula de Coordenadas/Vectores Si las coordenadas (o vectores de posición) de los centros son $\vec{O_1}$ y $\vec{O_2}$, el vector de posición del centro de homotecia interno $\vec{I}$ se calcula con este promedio ponderado: $$\vec{I} = \frac{r_2\vec{O_1} + r_1\vec{O_2}}{r_1 + r_2}$$

4. Haz Armónico Si $E$ es el Centro de Homotecia Externo e $I$ es el Centro de Homotecia Interno, estos dividen al segmento $O_1O_2$ armónicamente: $$(E, I; O_1, O_2) = -1$$ Esto implica la relación: $$\frac{1}{IO_1} + \frac{1}{EO_1} = \frac{2}{O_1O_2}$$

Demostración

Teorema: La intersección de las tangentes comunes internas de dos círculos ajenos está en la línea que conecta sus centros y divide al segmento que une los centros en la razón de sus radios.

Demostración: Toma un círculo $\omega_1$ con centro $O_1$ y radio $r_1$, y un círculo $\omega_2$ con centro $O_2$ y radio $r_2$. Sea $\ell$ una tangente común interna a $\omega_1$ y $\omega_2$.

1. Haz que $\ell$ toque a $\omega_1$ en el punto $T_1$ y a $\omega_2$ en el punto $T_2$.
2. Define $I$ como la intersección de la línea tangente $\ell$ y el segmento que une los centros $O_1O_2$. (Como $\ell$ es una tangente interna, tiene que cruzar el segmento $O_1O_2$).
3. Traza los radios $O_1T_1$ y $O_2T_2$.
4. Por la propiedad de las tangentes, el radio es perpendicular a la línea tangente en el punto de tangencia. Por lo tanto: $$O_1T_1 \perp \ell \quad \text{y} \quad O_2T_2 \perp \ell$$
5. Como tanto $O_1T_1$ como $O_2T_2$ son perpendiculares a la misma línea $\ell$, son paralelos entre sí: $$O_1T_1 \parallel O_2T_2$$
6. Considera los triángulos $\triangle O_1T_1I$ y $\triangle O_2T_2I$.
   • $\angle O_1IT_1 = \angle O_2IT_2$ (Ángulos opuestos por el vértice).
   • $\angle O_1T_1I = \angle O_2T_2I = 90^\circ$.
   • Como $O_1T_1 \parallel O_2T_2$, los ángulos alternos internos son iguales (si consideras la transversal $T_1T_2$).
7. Entonces, $\triangle O_1T_1I \sim \triangle O_2T_2I$ por semejanza AA.
8. Por la semejanza, la razón de las hipotenusas correspondientes es igual a la razón de los catetos correspondientes (los radios): $$\frac{IO_1}{IO_2} = \frac{O_1T_1}{O_2T_2} = \frac{r_1}{r_2}$$
9. Como $I$ está en el segmento $O_1O_2$ y lo divide en la razón fija $r_1:r_2$, $I$ es un punto fijo único determinado solamente por los centros y los radios.
10. Por lo tanto, la otra tangente común interna también tiene que pasar por este mismo punto $I$.

Así, $I$ es el centro de una homotecia con razón $k = -\frac{r_2}{r_1}$ que mapea $\omega_1$ a $\omega_2$.

$\square$