Justo en el punto de tangencia.
La propiedad de que un radio es perpendicular a una recta tangente en el punto de tangencia es uno de los teoremas más fundamentales en la geometría del círculo. Geométricamente, si una recta $\ell$ es tangente a un círculo con centro $O$ en un punto $T$, el radio $OT$ forma un ángulo de $90^\circ$ con la recta $\ell$. Este concepto te sirve como el puente principal entre la geometría del círculo y la geometría de los triángulos rectángulos. Al establecer un ángulo recto, esta propiedad te permite aplicar de inmediato el Pythagorean Theorem y razones trigonométricas para encontrar longitudes y ángulos que te falten.
Este teorema te lo vas a encontrar en todos lados en las matemáticas de competencia; aparece seguido desde el AMC 8 hasta el AMC 12. Es básico cada vez que un problema involucre un círculo y una recta que lo toca. La intuición detrás de esta propiedad se basa en la definición de una tangente: una recta que toca al círculo en exactamente un punto. Geométricamente, la distancia más corta de un punto (el centro del círculo) a una recta es el segmento perpendicular. Como el punto de tangencia es el único punto de la recta que está en el círculo (distancia $r$), y todos los demás puntos de la recta están fuera del círculo (distancia $> r$), el radio al punto de tangencia tiene que representar esta distancia perpendicular más corta.
En la práctica, siempre que te den una recta tangente en un problema, la construcción auxiliar estándar es trazar el radio al punto de tangencia. Esta construcción es especialmente poderosa cuando la combinas con un punto externo. Si una tangente desde un punto externo $P$ toca al círculo en $T$, trazar el radio $OT$ y el segmento que conecta el centro con el punto externo $OP$ crea el triángulo rectángulo $\triangle OTP$. Esto te permite calcular longitudes de tangentes, distancias entre centros de círculos tangentes y radios de incírculos.
El Teorema Fundamental Sea $\omega$ un círculo con centro $O$, y sea $\ell$ una recta tangente a $\omega$ en el punto $T$. Entonces: $$OT \perp \ell \implies \angle OTA = 90^\circ$$ donde $A$ es cualquier punto en la recta $\ell$.
Aplicación en Triángulos Rectángulos (Tangente desde un Punto Externo) Si $P$ es un punto externo y $PT$ es tangente al círculo $O$ con radio $r$ en el punto $T$, entonces $\triangle OTP$ es un triángulo rectángulo con hipotenusa $OP$. Por el Pythagorean Theorem: $$OP^2 = OT^2 + PT^2$$ $$OP^2 = r^2 + PT^2$$
Variación en Geometría Analítica Si la pendiente del radio al punto de tangencia es $m_r$ y la pendiente de la recta tangente es $m_t$, entonces: $$m_r \cdot m_t = -1$$ (Asumiendo que ninguna recta es vertical).
Teorema: Si una recta $\ell$ es tangente a un círculo con centro $O$ en el punto $T$, entonces el radio $OT$ es perpendicular a $\ell$.
Demostración por Contradicción:
Suposición: Supón que el radio $OT$ no es perpendicular a la recta tangente $\ell$.
Construcción: Como $OT$ no es perpendicular a $\ell$, puedes trazar un único segmento de recta desde el centro $O$ perpendicular a $\ell$. Deja que esta perpendicular cruce a $\ell$ en un punto $M$, tal que $M \neq T$.
Análisis del Triángulo: Considera el triángulo $\triangle OMT$. Por la construcción, $\angle OMT = 90^\circ$. En cualquier triángulo rectángulo, la hipotenusa es estrictamente más larga que cualquiera de los catetos. Por lo tanto, la hipotenusa $OT$ debe ser más larga que el cateto $OM$: $$OM < OT$$
Definición del Radio: Como $T$ está en el círculo, la longitud $OT$ es igual al radio del círculo, $r$. Al sustituir esto en la desigualdad, obtienes: $$OM < r$$
Contradicción: La desigualdad $OM < r$ implica que la distancia del centro $O$ al punto $M$ es menor que el radio. Esto significa que el punto $M$ está estrictamente dentro del círculo. Sin embargo, $M$ es un punto en la recta $\ell$. Si una recta contiene un punto dentro de un círculo, tiene que ser una recta secante que corta al círculo en dos puntos distintos. Esto contradice la información de que $\ell$ es una recta tangente (que toca al círculo en exactamente un punto).
Conclusión: La suposición de que $OT$ no es perpendicular a $\ell$ lleva a una contradicción. Por lo tanto, $OT$ tiene que ser perpendicular a $\ell$.
$\square$