Teorema de Menelaus

Teoría

El teorema de Menelaus es el "dual" del teorema de Ceva; mientras que Ceva trata sobre la concurrencia de cevianas, Menelaus trata sobre la colinealidad de puntos en los lados de un triángulo. Recibe su nombre por Menelaus de Alejandría (c. 70-140 d.C.), y este teorema te da una condición necesaria y suficiente para que tres puntos en los lados (o sus extensiones) de un triángulo sean colineales.

Una transversal es una línea que cruza los tres lados de un triángulo (extendidos si hace falta). El teorema de Menelaus te dice cuándo tres puntos están sobre esa transversal.

Aplicaciones clave:

• Probar la colinealidad de puntos.
• Trabajar con razones dobles.
• Probar resultados sobre triángulos cortados por líneas.
• Lo puedes usar seguido junto con el teorema de Ceva.

Fórmulas Clave

Teorema de Menelaus:

En el triángulo $ABC$, toma los puntos $D$, $E$, $F$ sobre las líneas $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Entonces $D$, $E$, $F$ son colineales si y solo si: $$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = -1$$

Las razones tienen signo: son positivas si el punto está en