Teorema de Ceva

Teoría

El Teorema de Ceva es un resultado fundamental en la geometría del triángulo que te da una condición necesaria y suficiente para que tres cevianas (líneas que salen de los vértices hacia los lados opuestos) sean concurrentes. Llamado así por el matemático italiano Giovanni Ceva (1647-1734), este teorema es una herramienta súper potente para demostrar concurrencia.

Una ceviana es un segmento de recta que une un vértice de un triángulo con un punto en el lado opuesto (o su extensión). Ejemplos comunes son las medianas, las alturas y las bisectrices; puedes demostrar que todas ellas son concurrentes usando el teorema de Ceva.

El teorema relaciona las razones en las que las cevianas dividen a los lados opuestos. Su converso es igual de útil: si el producto de las razones es igual a 1, las cevianas tienen que ser concurrentes.

Fórmulas Clave

Teorema de Ceva:

En el triángulo $ABC$, toma los puntos $D$, $E$, $F$ sobre los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente (o sus extensiones). Entonces $AD$, $BE$, $CF$ son concurrentes si y solo si: $$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$$

Las razones tienen signo (son positivas si el punto está sobre el segmento, y negativas si está en la extensión).

Forma Trigonométrica:

Si las cevianas $AD$, $BE$, $CF$ son concurrentes, entonces: $$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC} \cdot \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle EBA} \cdot \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB} = 1$$

Interpretación con Puntos de Masa:

Asigna masas $m_A$, $m_B$, $m_C$ a los vértices de tal forma que las cevianas pasen por el centro de masa. Entonces:

• $D$ divide a $BC$ en razón $m_C : m_B$
• $E$ divide a $CA$ en razón $m_A : m_C$
• $F$ divide a $AB$ en razón $m_B : m_A$

Demostración

Demostración usando razones de áreas:

Supón que $AD$, $BE$, $CF$ son concurrentes en el punto $P$.

Usa el hecho de que para cualquier punto $X$ y triángulo $PQR$: $$\frac{[XPQ]}{[XQR]} = \frac{PQ}{QR}$$ cuando se miden sobre la misma línea.

Paso 1: Expresa las razones usando áreas.

$$\frac{AF}{FB} = \frac{[APC]}{[BPC]}$$ (triángulos con la misma altura desde $C$)

$$\frac{BD}{DC} = \frac{[ABP]}{[APC]}$$ (triángulos con la misma altura desde $A$)

$$\frac{CE}{EA} = \frac{[BPC]}{[ABP]}$$ (triángulos con la misma altura desde $B$)

Paso 2: Multiplica las razones.

$$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = \frac{[APC]}{[BPC]} \cdot \frac{[ABP]}{[APC]} \cdot \frac{[BPC]}{[ABP]} = 1$$

Converso: Si $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$, toma $P$ como la intersección de $AD$ y $BE$. Haz que $CF'$ pase por $P$, donde $F'$ está en $AB$.

Por la dirección directa: $\frac{AF'}{F'B} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

Como también sabes que $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$, llegas a que $\frac{AF'}{F'B} = \frac{AF}{FB}$.

Por lo tanto $F = F'$, así que $CF$ pasa por $P$. $\square$