Coordenadas Baricéntricas

Teoría

Las coordenadas baricéntricas te dan un marco algebraico muy potente para resolver problemas de geometría plana, especialmente los que tienen que ver con triángulos. A diferencia de las coordenadas cartesianas, que definen puntos basándose en un origen arbitrario y ejes ortogonales, las coordenadas baricéntricas definen un punto $P$ respecto a un triángulo de referencia $ABC$. A un punto $P$ lo representas con la terna $(u, v, w)$, que puedes interpretar físicamente: si pones masas de magnitud $u$, $v$ y $w$ en los vértices $A$, $B$ y $C$ respectivamente, $P$ es el centro de masa (baricentro) del sistema. En coordenadas homogéneas, solo importa la razón $u:v:w$, lo que permite describir de forma elegante los centros del triángulo y las rectas.

Este sistema es súper útil en la geometría de olimpiada porque mantiene la simetría del triángulo. Es el método ideal para problemas que involucran la intersección de cevianas, colinealidad de puntos y propiedades de centros especiales del triángulo (como el incentro, el circuncentro o el punto simediano). Aunque las coordenadas cartesianas suelen llevar a expresiones algebraicas muy pesadas cuando trabajas con triángulos generales, las coordenadas baricéntricas aprovechan las propiedades afines de la figura, reduciendo muchas veces teoremas geométricos complejos a identidades algebraicas manejables. Las coordenadas están íntimamente relacionadas con las áreas de los subtriángulos formados por $P$ y los vértices, sirviendo como un puente entre la geometría vectorial y los métodos de áreas.

Fórmulas Clave

Definición y Normalización Para un triángulo de referencia $ABC$ y un punto $P$, las coordenadas baricéntricas absolutas $(u, v, w)$ cumplen: $$ \vec{P} = u\vec{A} + v\vec{B} + w\vec{C} $$ sujetas a la condición de normalización: $$ u + v + w = 1 $$

El Principio del Área (Coordenadas Homogéneas) Para cualquier punto $P$ dentro del $\triangle ABC$, las coordenadas homogéneas $(u : v : w)$ son proporcionales a las áreas con signo de los subtriángulos: $$ u : v : w = [PBC] : [PCA] : [PAB] $$ donde $[XYZ]$ es el área del triángulo $XYZ$.

Coordenadas de Centros Comunes

• Baricentro ($G$): $(1 : 1 : 1)$
• Incentro ($I$): $(a : b : c)$ donde $a, b, c$ son las longitudes de los lados.
• Punto Simediano ($K$): $(a^2 : b^2 : c^2)$
• Circuncentro ($O$): $(\sin 2A : \sin 2B : \sin 2C)$
• Ortocentro ($H$): $(\tan A : \tan B : \tan C)$

Ecuación de una Recta La ecuación de una recta en coordenadas baricéntricas con variables $x, y, z$ es lineal y homogénea: $$ ux + vy + wz = 0 $$ Para una recta que pasa por dos puntos $P_1(x_1 : y_1 : z_1)$ y $P_2(x_2 : y_2 : z_2)$, la condición para que un punto $P(x:y:z)$ esté en la recta es: $$ \det \begin{pmatrix} x & y & z \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \end{pmatrix} = 0 $$

Fórmula de Distancia La distancia $d$ entre dos puntos $P_1(u_1, v_1, w_1)$ y $P_2(u_2, v_2, w_2)$ (en coordenadas normalizadas) la calculas con: $$ -d^2 = a^2(v_1-v_2)(w_1-w_2) + b^2(w_1-w_2)(u_1-u_2) + c^2(u_1-u_2)(v_1-v_2) $$

Demostración

Teorema: Si $P$ tiene coordenadas baricéntricas normalizadas $(u, v, w)$ respecto al $\triangle ABC$, entonces $w = \frac{[PAB]}{[ABC]}$.

Demostración: Aquí usas la definición vectorial de las coordenadas baricéntricas y la definición del área mediante el producto cruz. En el plano del triángulo, el área de un triángulo definido por los vectores $\vec{X}$ y $\vec{Y}$ la calculas como $\frac{1}{2} |\vec{X} \times \vec{Y}|$.

1. Empieza con la definición de la coordenada normalizada de $P$: $$ \vec{P} = u\vec{A} + v\vec{B} + w\vec{C} $$ Como $u + v + w = 1$, puedes sustituir $u = 1 - v - w$: $$ \vec{P} = (1 - v - w)\vec{A} + v\vec{B} + w\vec{C} $$

2. Reacomoda los términos para expresar el vector $\vec{P} - \vec{A}$: $$ \vec{P} - \vec{A} = v(\vec{B} - \vec{A}) + w(\vec{C} - \vec{A}) $$

3. Para aislar $w$, toma el producto cruz de ambos lados con el vector $(\vec{B} - \vec{A})$. Nota que $(\vec{B} - \vec{A}) \times (\vec{B} - \vec{A}) = 0$. $$ (\vec{P} - \vec{A}) \times (\vec{B} - \vec{A}) = v(\vec{B} - \vec{A}) \times (\vec{B} - \vec{A}) + w(\vec{C} - \vec{A}) \times (\vec{B} - \vec{A}) $$ $$ (\vec{P} - \vec{A}) \times (\vec{B} - \vec{A}) = w\left( (\vec{C} - \vec{A}) \times (\vec{B} - \vec{A}) \right) $$

4. Recuerda que para el $\triangle XYZ$, la cantidad $(\vec{Y}-\vec{X}) \times (\vec{Z}-\vec{X})$ representa un vector con magnitud $2[XYZ]$ (área orientada).

   • El lado izquierdo es $(\vec{P} - \vec{A}) \times (\vec{B} - \vec{A})$. La magnitud es $2[PAB]$. Nota que la orientación es $A \to P \to B$.
   • El término en el lado derecho es $(\vec{C} - \vec{A}) \times (\vec{B} - \vec{A})$. Esto equivale a $-(\vec{B} - \vec{A}) \times (\vec{C} - \vec{A})$. La magnitud corresponde a $2[ABC]$.

5. Al tomar las magnitudes (y respetando la convención de signos para puntos internos): $$ 2[PAB] = w \cdot 2[ABC] $$

6. Despejando $w$: $$ w = \frac{[PAB]}{[ABC]} $$

Por simetría, $u = \frac{[PBC]}{[ABC]}$ y $v = \frac{[PCA]}{[ABC]}$. $\square$