Los círculos se vuelven círculos o rectas según si pasan por el centro.
La inversión es una transformación geométrica poderosa que "voltea el plano de adentro hacia afuera" con respecto a una circunferencia de referencia (la circunferencia de inversión) con centro $O$ y radio $R$. La propiedad que define a la inversión es que para cualquier punto $P$ (que no sea $O$), su imagen $P'$ está en el rayo $OP$ de tal manera que $OP \cdot OP' = R^2$. La propiedad más importante de la inversión para la geometría de olimpiadas es su efecto en las "circunferencias generalizadas" (un conjunto que incluye tanto circunferencias como líneas). La inversión mapea el conjunto de circunferencias generalizadas a sí mismo. Esto te permite transformar configuraciones complejas de circunferencias tangentes en configuraciones más simples que involucran líneas rectas o circunferencias concéntricas.
Esta técnica es especialmente útil en problemas con varias circunferencias tangentes (como las cadenas de Steiner, las cadenas de Pappus o los problemas de Apollonius) o en problemas donde un punto específico actúa como un "centro de complicaciones". Si eliges el centro de inversión como un punto de intersección entre circunferencias, esas circunferencias se transforman en líneas rectas, lo que a menudo reduce un problema difícil de geometría no lineal a uno lineal que puedes resolver. Además, la inversión es un mapeo conforme, lo que significa que preserva la magnitud de los ángulos entre curvas. Por lo tanto, si dos circunferencias son tangentes (ángulo 0) u ortogonales (ángulo $90^\circ$) antes de la inversión, sus imágenes seguirán siendo tangentes u ortogonales, respectivamente.