Demostrando Concurrencia con Ceva

Teoría

El Teorema de Ceva es un resultado fundamental en la geometría euclidiana que establece una condición necesaria y suficiente para que tres cevianas sean concurrentes (que se crucen en un solo punto). Una ceviana es un segmento de recta que sale de un vértice de un triángulo hacia el lado opuesto (o su extensión). Ejemplos comunes son las medianas, alturas y bisectrices. El poder del Teorema de Ceva está en que puede traducir una propiedad geométrica (concurrencia) a una ecuación algebraica con las razones de las longitudes de los segmentos en el perímetro del triángulo.

Esta técnica aparece en todos lados en las competencias de matemáticas, desde el AMC 12 hasta el USAMO, porque te da una forma sistemática de demostrar que tres líneas se cruzan en un punto sin tener que calcular coordenadas o usar argumentos de construcción complejos. Para demostrar concurrencia, calculas las razones específicas en las que las cevianas dividen los lados del triángulo. Si el producto de estas razones es $1$, las líneas son concurrentes. Al revés, si ya sabes que las líneas son concurrentes, el producto de las razones tiene que ser $1$, lo que te permite calcular longitudes de segmentos que no conozcas.

La intuición detrás del teorema se entiende mejor con el concepto de áreas o puntos de masa. Las razones de los segmentos en los lados corresponden a razones de las áreas de subtriángulos específicos formados por el punto de intersección. Cuando multiplicas estas razones de áreas de forma cíclica, los términos se cancelan perfectamente y te da uno. Esta "cancelación cíclica" es la marca distintiva del Teorema de Ceva.

Fórmulas Clave

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $D, E$ y $F$ puntos en las rectas $BC, CA$ y $AB$ respectivamente.

Teorema de Ceva Estándar Las cevianas $AD, BE$ y $CF$ son concurrentes si y solo si: $$ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$

Forma Trigonométrica del Teorema de Ceva A veces es más fácil trabajar con ángulos que con longitudes de lados. Las cevianas $AD, BE$ y $CF$ son concurrentes si y solo si: $$ \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC} \cdot \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB} \cdot \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle EBA} = 1 $$

Generalización Aunque normalmente se aplica a puntos que están estrictamente sobre los segmentos (concurrencia interna), el teorema también funciona para puntos externos, siempre y cuando un número par de puntos (0 o 2) estén en las extensiones de los lados en lugar de en los segmentos mismos.

Demostración

Vamos a demostrar la forma estándar del Teorema de Ceva usando el Método de Áreas, que es la forma más clara de entender la relación entre las razones de los segmentos y la concurrencia.

Notación: Deja que $[XYZ]$ represente el área del triángulo $XYZ$.

Parte 1: Dirección Directa Supón que las cevianas $AD, BE$ y $CF$ se cruzan en un punto común $P$. Lo que queremos es mostrar que el producto de las razones es $1$.

1. Considera el lado $BC$. Los triángulos $\triangle ABD$ y $\triangle ACD$ comparten la misma altura desde el vértice $A$ hasta la recta $BC$. Por lo tanto, la razón de sus áreas es igual a la razón de sus bases: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{[ABD]}{[ACD]} $$

2. De la misma forma, para los triángulos más pequeños $\triangle PBD$ y $\triangle PCD$ (que comparten una altura desde $P$ hasta $BC$): $$ \frac{BD}{DC} = \frac{[PBD]}{[PCD]} $$

3. Usando la propiedad algebraica de que si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$, entonces $\frac{a-c}{b-d} = k$, puedes restar las áreas: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{[ABD] - [PBD]}{[ACD] - [PCD]} = \frac{[ABP]}{[ACP]} $$

4. Aplicando la misma lógica a los lados $CA$ y $AB$, obtienes: $$ \frac{CE}{EA} = \frac{[BCP]}{[BAP]} \quad \text{y} \quad \frac{AF}{FB} = \frac{[CAP]}{[CBP]} $$

5. Ahora, multiplica las tres razones: $$ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = \frac{[CAP]}{[CBP]} \cdot \frac{[ABP]}{[ACP]} \cdot \frac{[BCP]}{[BAP]} $$

6. Nota que $[ABP] = [BAP]$, $[BCP] = [CBP]$ y $[CAP] = [ACP]$, así que todos los términos se cancelan: $$ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$

Parte 2: Dirección Inversa (Demostrar Concurrencia) Supón que eliges los puntos $D, E, F$ de tal forma que $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$. Tienes que demostrar que $AD, BE, CF$ son concurrentes.

1. Deja que las cevianas $AD$ y $BE$ se crucen en un punto $P$.
2. Traza la ceviana que pasa por $P$ desde $C$ para que cruce $AB$ en un punto $F'$.
3. Como $AD, BE$ y $CF'$ son concurrentes en $P$, por la dirección directa que demostraste arriba, sabes que: $$ \frac{AF'}{F'B} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$
4. Tienes como hipótesis que: $$ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$
5. Al igualar las dos expresiones, llegas a que: $$ \frac{AF'}{F'B} = \frac{AF}{FB} $$
6. Como un segmento de recta $AB$ solo puede ser dividido en una razón específica por un único punto, tiene que ser que $F' = F$.
7. Por lo tanto, la recta $CF$ pasa por $P$, y las tres cevianas son concurrentes.

$\square$