La razón de las áreas es el cuadrado de la razón de los lados.
El principio de la razón de áreas de figuras semejantes es un concepto fundamental en la geometría euclidiana. Básicamente dice que, si dos figuras geométricas son semejantes, la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de sus dimensiones lineales correspondientes. Aunque la semejanza mantiene la forma de una figura, escala su tamaño por un factor lineal $k$. Como el área es una cantidad bidimensional (mide la "cobertura" de un plano), este factor de escala se aplica a dos dimensiones al mismo tiempo: largo y ancho, base y altura, o el radio al cuadrado. Por lo tanto, el área se escala por $k \times k = k^2$.
Esta técnica aparece por todos lados en las olimpiadas de matemáticas, especialmente en exámenes como el AMC 10/12 y el AIME, porque te permite calcular áreas sin necesidad de conocer las longitudes de los lados o las alturas específicas. Muchas veces, un problema te va a dar una razón de lados (sacada de líneas paralelas, bisectrices o geometría analítica) y el área de una región, pidiéndote el área de otra. Si logras reconocer figuras semejantes —como triángulos formados por una línea paralela a la base, o polígonos relacionados por una homotecia— podrás hacer los cálculos rapidísimo. Es mucho más eficiente que intentar calcular cada dimensión por separado, que a veces pueden ser números irracionales o muy difíciles de manejar.
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