r = Área/s, donde s es el semiperímetro.
La fórmula del inradio te muestra una relación fundamental entre el área de un triángulo, su semiperímetro y el radio de su círculo inscrito (incírculo). El incentro es el punto donde se cruzan las bisectrices de los ángulos de un triángulo, y sirve como el centro del incírculo, que toca a los tres lados del triángulo. La distancia del incentro a cualquier lado siempre es la misma y la conocemos como el inradio, $r$.
Esta fórmula aparece por todos lados en las matemáticas de competencia, la vas a ver muy seguido en el AMC 10/12 y el AIME. Te sirve principalmente como un puente entre las longitudes de los lados de un triángulo y su geometría interna. Por ejemplo, si conoces las longitudes de los lados, puedes calcular el área (usando la Fórmula de Herón) y el semiperímetro, y así determinar el inradio. Al revés, te permite calcular el área si conoces el inradio y el perímetro.
La idea para entender la fórmula es descomponer el triángulo en tres triángulos más pequeños que comparten un vértice en el incentro. Como el incentro está a la misma distancia de los lados, la "altura" de cada triángulo pequeño con respecto a los lados del triángulo original es exactamente $r$. Esta forma de verlo transforma el problema del área en una relación simple que involucra al perímetro. Este concepto lo puedes generalizar a cualquier polígono tangencial (un polígono que tiene un círculo inscrito).