Pies de las Alturas

Teoría

Los pies de las alturas son los puntos donde las alturas de un triángulo intersectan a las rectas que contienen a los lados opuestos. En un triángulo $ABC$ con ortocentro $H$, sean $D, E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A, B$ y $C$ hacia los lados $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. Estos tres puntos forman los vértices del Triángulo Órtico (también conocido como el triángulo pedal del ortocentro). Los pies de las alturas son puntos críticos en la geometría del triángulo porque sirven como el "puente" entre los vértices y los lados, lo que facilita el uso de cuadriláteros cíclicos.

La importancia de los pies de las alturas en las matemáticas de competencia está en la gran cantidad de cuadriláteros cíclicos que crean. Por ejemplo, los puntos $B, C, E, F$ son concíclicos en una circunferencia con diámetro $BC$, y $A, F, H, E$ son concíclicos en una circunferencia con diámetro $AH$. Estas propiedades cíclicas te permiten hacer mucho "angle chasing" (persecución de ángulos). Además, los pies de las alturas son tres de los nueve puntos que definen la Circunferencia de los Nueve Puntos. La Circunferencia de los Nueve Puntos pasa por los puntos medios de los lados, los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos que conectan el ortocentro