Excentros

Teoría

Los excentros de un triángulo son los centros de sus tres circunferencias exinscritas. Una circunferencia exinscrita es un círculo tangente a un lado del triángulo y a las extensiones de los otros dos lados. Para un triángulo $ABC$, hay tres excentros, que normalmente vas a ver como $I_a$, $I_b$ e $I_c$, según el vértice que tengan enfrente. El excentro $I_a$ es la intersección de la bisectriz interna del $\angle A$ y las bisectrices externas de $\angle B$ y $\angle C$. Como está en las bisectrices, $I_a$ está a la misma distancia del segmento $BC$ que de las rectas que extienden a $AB$ y $AC$.

Los excentros son fundamentales en competencias de geometría avanzada como el AIME y el USAMO porque completan la "familia" de centros relacionados con la tangencia, junto con el incentro $I$. Al triángulo formado por los tres excentros, $\triangle I_a I_b I_c$, se le conoce como el triángulo excentral. Un dato clave es que los vértices del triángulo original $ABC$ sirven como los pies de las alturas del triángulo excentral. Por lo tanto, el incentro $I$ de $\triangle ABC$ es el ortocentro del triángulo excentral $\triangle I_a I_b I_c$. Esta relación permite que problemas que involucran ortocentros y alturas se puedan transformar en problemas de incentros y excentros.

Fórmulas Clave

En las siguientes fórmulas, $a, b, c$ son las longitudes de los lados, $s$ es el semiperímetro, $K$ es el área de $\triangle ABC$, $R$ es el circunradio y $r$ es el inradio.

Fórmulas de los Exradios Los exradios $r_a, r_b, r_c$ son los radios de las circunferencias exinscritas opuestas a los vértices $A, B, C$ respectivamente: $$r_a = \frac{K}{s-a}, \quad r_b = \frac{K}{s-b}, \quad r_c = \frac{K}{s-c}$$

Teorema de la Suma de Radios La suma de los exradios se relaciona con el circunradio y el inradio así: $$r_a + r_b + r_c = 4R + r$$

Relaciones de Área El área del triángulo se puede expresar usando los exradios: $$K = \sqrt{r r_a r_b r_c}$$ $$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}$$

Distancia desde el Circuncentro (Teorema de Euler para Excircunferencias) Si $O$ es el circuncentro de $\triangle ABC$, la distancia al excentro $I_a$ es: $$OI_a^2 = R(R + 2r_a)$$

Coordenadas Baricéntricas Las coordenadas para el excentro $I_a$ son: $$I_a = (-a : b : c)$$

Demostración

Teorema: Para un triángulo $ABC$ con área $K$ y semiperímetro $s$, el exradio opuesto al vértice $A$ está dado por $r_a = \frac{K}{s-a}$.

Demostración: Toma a $I_a$ como el excentro opuesto al vértice $A$. Sean $D, E$ y $F$ los puntos de tangencia de la circunferencia exinscrita con la recta $BC$ y las extensiones de las rectas $AC$ y $AB$, respectivamente.

1. Configuración Geométrica: Por definición, el radio de la circunferencia exinscrita es $r_a$. Así que $I_aD = I_aE = I_aF = r_a$. Además, $I_aD \perp BC$, $I_aE \perp AC$ e $I_aF \perp AB$.

2. Descomposición del Área: Puedes expresar el área de $\triangle ABC$ (que vamos a llamar $K$) descomponiéndola en triángulos que involucren al excentro $I_a$. Específicamente, considera las áreas de $\triangle ABI_a$, $\triangle ACI_a$ y $\triangle BCI_a$.

   Si te fijas en la geometría, $\triangle ABC$ es la unión de $\triangle ABI_a$ y $\triangle ACI_a$, menos la región que se traslapa $\triangle BCI_a$. $$K = [ABI_a] + [ACI_a] - [BCI_a]$$

3. Cálculo de Sub-áreas: Calcula el área de cada triángulo usando la fórmula $\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$. La altura de los tres triángulos con respecto a los lados de $\triangle ABC$ es el exradio $r_a$.

   $$[ABI_a] = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r_a$$ $$[ACI_a] = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r_a$$ $$[BCI_a] = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r_a$$

4. Sustitución y Simplificación: Sustituye estas expresiones en la ecuación del área: $$K = \frac{1}{2}c r_a + \frac{1}{2}b r_a - \frac{1}{2}a r_a$$ $$K = \frac{1}{2}r_a (b + c - a)$$

5. Relación con el Semiperímetro: Recuerda que el semiperímetro es $s = \frac{a+b+c}{2}$, lo que implica que $2s = a+b+c$. Puedes reescribir el término $(b+c-a)$ como: $$b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2s - 2a = 2(s-a)$$

   Sustituyendo esto de nuevo en la ecuación del área: $$K = \frac{1}{2}r_a \cdot 2(s-a)$$ $$K = r_a(s-a)$$

6. Conclusión: Al despejar $r_a$, obtienes: $$r_a = \frac{K}{s-a}$$

   $\square$