mₐ² = (2b² + 2c² - a²)/4.
La fórmula de la longitud de la mediana te permite calcular cuánto mide una mediana en un triángulo si conoces las longitudes de sus tres lados. Una mediana es una ceviana que conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto. Aunque para la longitud de una ceviana general necesites el Teorema de Stewart, la fórmula de la longitud de la mediana es una aplicación específica y simplificada de este teorema, donde la ceviana divide el lado opuesto en una razón de $1:1$. También puedes encontrar esta relación como el Teorema de Apolonio.
Esta fórmula es una herramienta fundamental en la geometría de competencia, especialmente para el AMC 12 y el AIME. Es esencial cuando un problema te da las longitudes de los lados y te pide distancias internas, o cuando aparecen las propiedades del baricentro. Como la fórmula relaciona las longitudes de forma puramente algebraica, te permite resolver problemas geométricos sin tener que calcular ángulos específicos o usar identidades trigonométricas complejas.
De forma intuitiva, la fórmula expresa una relación métrica entre los lados de un triángulo y la distancia de un vértice al punto medio del lado opuesto. Puedes verla como una generalización del Teorema de Pitágoras; si la mediana también es una altura (lo que significa que el triángulo es isósceles o equilátero), la fórmula se simplifica directamente a la relación de Pitágoras.
Supón que el $\triangle$