Inradio a partir de los Lados

Teoría

La relación entre el inradio $r$, las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo es un puente súper útil entre las medidas lineales y angulares en geometría. Aunque la fórmula más común para el inradio viene del área ($Area = rs$), la fórmula $r = (s-a)\tan(A/2)$ relaciona el inradio directamente con un vértice específico y sus segmentos tangentes adyacentes. Este concepto se basa en la propiedad geométrica de que la distancia desde un vértice hasta los puntos donde el incírculo toca los lados adyacentes es igual al semiperímetro menos la longitud del lado opuesto.

Esta técnica es muy importante en las olimpiadas de matemáticas cuando trabajas con problemas de bisectrices, sustituciones trigonométricas o cuando tienes que "perseguir" longitudes por el perímetro de un polígono. Sirve como base para la Ley de las Cotangentes y se usa seguido en problemas de AIME y USAMO donde no conoces el área del triángulo de inmediato, pero sí tienes ángulos específicos y segmentos de los lados. Si entiendes esta relación, puedes pasar rápido de las propiedades algebraicas del semiperímetro a las propiedades trigonométricas de los ángulos mitad.

Fórmulas Clave

Para un triángulo $ABC$ con lados $a, b, c$, semiperímetro $s = \frac{a+b+c}{2}$ e inradio $r$, se cumplen estas relaciones:

Fórmula Principal: $$r = (s-a)\tan\left(\frac{A}{2}\right)$$

Variaciones Cíclicas: $$r = (s-b)\tan\left(\frac{B}{2}\right) = (s-c)\tan\left(\frac{C}{2}\right)$$

Longitudes de Tangencia: La distancia desde el vértice $A$ hasta los puntos de tangencia en los lados $AB$ y $AC$ es: $$x_A = s-a$$ De la misma forma, para los vértices $B$ y $C$: $$x_B = s-b, \quad x_C = s-c$$

Ley de las Cotangentes (Derivada): $$\frac{\cot(A/2)}{s-a} = \frac{\cot(B/2)}{s-b} = \frac{\cot(C/2)}{s-c} = \frac{1}{r}$$

Demostración

Teorema: En el $\triangle ABC$, el inradio $r$ se calcula como $r = (s-a)\tan(A/2)$.

Demostración:

1. Configuración y Puntos de Tangencia: Toma a $I$ como el incentro del $\triangle ABC$. Haz que el incírculo sea tangente a los lados $BC$, $AC$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Por definición, $ID = IE = IF = r$, y además $ID \perp BC$, $IE \perp AC$, $IF \perp AB$.

2. Congruencia de Segmentos Tangentes: Considera los triángulos rectángulos $\triangle AIE$ y $\triangle AIF$.

   • Comparten la hipotenusa $AI$.
   • Los catetos $IE$ e $IF$ son iguales a $r$. Por el criterio de congruencia Hipotenusa-Cateto (HC), $\triangle AIE \cong \triangle AIF$. Por lo tanto, los catetos correspondientes son iguales: $AE = AF$. Igual pasa con $BD = BF$ y $CD = CE$.

3. Cálculo de las Longitudes de los Segmentos: Escribe el perímetro del triángulo como la suma de estos segmentos: $$2s = a + b + c = (BD + CD) + (AE + CE) + (AF + BF)$$ Acomoda los términos usando las igualdades que encontraste en el paso 2: $$2s = (AE + AF) + (BD + BF) + (CD + CE)$$ $$2s = 2AE + 2BD + 2CD$$ Divide entre 2: $$s = AE + (BD + CD)$$ Como $D$ está en $BC$, entonces $BD + CD = a$. Si sustituyes esto en la ecuación, te queda: $$s = AE + a \implies AE = s - a$$

4. Relación Trigonométrica: Regresa al triángulo rectángulo $\triangle AIE$. Como $I$ es el incentro, el segmento $AI$ biseca al $\angle BAC$. Entonces, $\angle IAE = \frac{A}{2}$. Usa la definición de la función tangente en el $\triangle AIE$: $$\tan(\angle IAE) = \frac{\text{Opuesto}}{\text{Adyacente}} = \frac{IE}{AE}$$ Sustituye los valores que ya conoces: $\angle IAE = A/2$, $IE = r$ y $AE = s-a$: $$\tan\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{r}{s-a}$$

5. Conclusión: Si despejas $r$, obtienes: $$r = (s-a)\tan\left(\frac{A}{2}\right)$$

$\square$