Desigualdad para cuadriláteros no cíclicos.
La Desigualdad de Ptolemy es un resultado fundamental en la geometría euclidiana que generaliza el Teorema de Ptolemy para cuadriláteros que no son cíclicos. Mientras que el Teorema de Ptolemy te da una igualdad que relaciona los productos de los lados opuestos y el producto de las diagonales para cuadriláteros cíclicos, la Desigualdad de Ptolemy te dice que para cualquier conjunto de cuatro puntos en el plano (ya sea que formen un cuadrilátero convexo o no), el producto de las longitudes de las diagonales es menor o igual a la suma de los productos de las longitudes de los lados opuestos.
Esta desigualdad es muy importante en las matemáticas de competencia para poner límites a cantidades geométricas y resolver problemas de optimización, como encontrar la distancia mínima entre puntos en una configuración. También te sirve como un puente entre la geometría y los números complejos, ya que la desigualdad es básicamente una interpretación geométrica de la desigualdad del triángulo aplicada a identidades específicas de números complejos.
El punto clave del teorema está en su condición de igualdad. La desigualdad se convierte en igualdad si y solo si los cuatro vértices son concíclicos (están sobre una misma circunferencia) y aparecen en orden a lo largo del perímetro. Esto hace que la Desigualdad de Ptolemy sea una herramienta poderosa para que demuestres que ciertos puntos son concíclicos o para que analices qué tanto se alejan de serlo.
Para cualquier cuadril