División Armónica y Polo-Polar

Teoría: División Armónica

Primero lo básico. Decimos que cuatro puntos $A, B, C, D$ que están sobre una misma línea se encuentran en división armónica si la razón de sus distancias es igual. Específicamente, lo escribimos como $(A, B; C, D) = -1$ si se cumple que:

$$\frac{AC}{CB} = -\frac{AD}{DB}$$

Aquí estamos usando segmentos dirigidos. Si prefieres pensar solo en distancias, la idea es que $C$ divide al segmento $AB$ internamente en la misma proporción que $D$ lo divide externamente.

Propiedades Clave

• Conjugados Armónicos: Si $(A, B; C, D) = -1$, decimos que $C$ y $D$ son conjugados armónicos con respecto a $A$ y $B$.
• Haces Armónicos: Si tienes cuatro rectas que pasan por un mismo punto $P$ y cortan a una línea en cuatro puntos en división armónica, entonces cualquier otra línea que corte a estas cuatro rectas también tendrá sus puntos de intersección en división armónica. A esto lo llamamos un haz armónico y lo escribimos como $P(A, B; C, D) = -1$.
• La Propiedad de la Bisectriz: Esta es de las más útiles en problemas. Si tienes un triángulo $ABC$ y trazas la bisectriz interna y la bisectriz externa del ángulo $\angle A$, estas van a cortar al lado opuesto $BC$ en dos puntos, digamos $D$ y $E$. ¡Resulta que $(B, C; D, E) = -1$!

Polo y Polar

Ahora vas a ver una conexión padrísima entre puntos y líneas respecto a un círculo $\omega$ con centro $O$.

¿Qué es la Polar?

Para cualquier punto $P$ (el polo), existe una línea única $p$ llamada su polar. La puedes encontrar así:

1. Si $P$ está afuera del círculo: Traza las dos tangentes desde $P$ al círculo. La línea que une los dos puntos de tangencia es la polar de $P$.
2. Si $P$ está sobre el círculo: La polar es simplemente la línea tangente al círculo en $P$.
3. Si $P$ está adentro del círculo: Toma el punto $Q$ en el rayo $OP$ tal que $OP \cdot OQ = r^2$ (donde $r$ es el radio). La polar es la línea que pasa por $Q$ y es perpendicular a $OP$.

Teorema de La Hire

Este teorema es súper potente y dice lo siguiente: El punto $A$ está en la polar de $B$ si y solo si $B$ está en la polar de $A$.

Si tres o más puntos son colineales, sus polares van a pasar todas por un mismo punto (son concurrentes). Y al revés: si varias líneas son concurrentes, sus polos van a ser colineales.

La Conexión Importante

¿Por qué se estudian estas dos cosas juntas? Por este teorema fundamental:

Si una línea que pasa por un punto $P$ corta a un círculo en los puntos $X$ y $Y$, y esa misma línea corta a la polar de $P$ en el punto $Q$, entonces los puntos están en división armónica: $$(P, Q; X, Y) = -1$$

Esta propiedad es la que hace que el tema de polo y polar sea tan útil en la geometría proyectiva y en los problemas de olimpiada.

Fórmulas Clave

• Relación de distancias: Si $O$ es el centro del círculo y $r$ su radio, y $P$ es el polo con $p$ su polar, la distancia desde el centro cumple $d(O, P) \cdot d(O, p) = r^2$.
• En el plano cartesiano: Si el círculo es $x^2 + y^2 = r^2$ y el polo es $P(x_0, y_0)$, la ecuación de la polar es: $$x_0x + y_0y = r^2$$

Demostración (Esquema)

Para mostrar que $(P, Q; X, Y) = -1$, puedes usar la inversión respecto al círculo $\omega$. Recuerda que la polar está muy relacionada con la inversión. Si inviertes respecto a $\omega$, el punto $P$ se mueve a un punto en su polar, y el círculo se queda igual. Usando las propiedades de la razón cruzada y cómo se preservan (o cambian) bajo inversión, puedes llegar al resultado. Otra forma es usar puras semejanzas de triángulos con los puntos de tangencia, ¡inténtalo!