En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos suman 180°.
La propiedad de que los ángulos opuestos son suplementarios es la característica que define a los cuadriláteros cíclicos. Llamas "cíclico" a un cuadrilátero si sus cuatro vértices están sobre una misma circunferencia. Para cualquier cuadrilátero $ABCD$ de este tipo, la suma de las medidas de cualquier par de ángulos opuestos es igual a $180^\circ$. Este teorema es una pieza fundamental de la geometría euclidiana y se usa muchísimo para hacer "angle chasing" (persecución de ángulos) en competencias como el AMC 10/12, ya sea para encontrar ángulos desconocidos o para establecer relaciones entre figuras geométricas.
La utilidad de este concepto va más allá de solo calcular ángulos; sirve como un criterio muy potente para demostrar conciclicidad. El teorema es bicondicional: un cuadrilátero es cíclico si y solo si sus ángulos opuestos suman $180^\circ$. Por eso, si un problema te pide demostrar que cuatro puntos están en una circunferencia, una estrategia estándar y efectiva es demostrar que el cuadrilátero que forman tiene ángulos opuestos suplementarios. Esto suele ser el primer paso en problemas más complejos que involucran el Teorema de Ptolemy o Potencia de un Punto.
Intuitivamente, esta relación viene del Teorema del Ángulo Inscrito. Un ángulo inscrito subtiende un arco específico de la circunferencia. El ángulo opuesto subtiende la parte restante de la circunferencia. Como toda la circunferencia representa un ángulo central de $360^\circ$, y un ángulo inscrito mide la mitad de su arco interceptado, la suma de los dos ángulos inscritos opuestos tiene que ser la mitad de $360^\circ$, o sea, $180^\circ$. Un corolario directo de esto es la propiedad del Ángulo Exterior, donde el ángulo exterior de un cuadrilátero cíclico es igual al ángulo interior opuesto.
Para un cuadrilátero cíclico con vértices $A, B, C$ y $D$ en orden (ya sea a favor o en contra de las manecillas del reloj):
Teorema Principal: $$ \angle A + \angle C = 180^\circ $$ $$ \angle B + \angle D = 180^\circ $$
El Recíproco (Condición de Conciclicidad): Si un cuadrilátero convexo $ABCD$ cumple que $\angle A + \angle C = 180^\circ$ (o $\angle B + \angle D = 180^\circ$), entonces los puntos $A, B, C$ y $D$ son concíclicos.
Propiedad del Ángulo Exterior: Si extiendes el lado $AB$ después de $B$ hasta un punto $E$, el ángulo exterior $\angle CBE$ es igual al ángulo interior opuesto $\angle D$: $$ \angle CBE = \angle ADC $$
Teorema: En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos suman $180^\circ$.
Demostración: Toma un cuadrilátero $ABCD$ inscrito en una circunferencia con centro $O$. La idea es demostrar que $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$.
Construcción: Traza los radios $OB$ y $OD$. Estos radios dividen la circunferencia en dos arcos que conectan a $B$ y $D$: el arco menor (que no contiene a $A$ ni a $C$ en esta configuración específica, asumiendo que $A$ y $C$ están en lados opuestos de la cuerda $BD$) y el arco mayor. Pero, para ser precisos, considera los arcos interceptados por los ángulos.
Aplica el Teorema del Ángulo Inscrito: El Teorema del Ángulo Inscrito dice que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la medida de su arco interceptado (o la mitad del ángulo central que subtiende ese arco).
Suma de los ángulos: Los dos arcos $BCD$ y $DAB$ juntos forman toda la circunferencia. Por lo tanto, la suma de los ángulos centrales $\alpha$ y $\beta$ tiene que ser $360^\circ$: $$ \alpha + \beta = 360^\circ $$
Conclusión: Suma las expresiones de los ángulos inscritos: $$ \angle DAB + \angle BCD = \frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{2}\beta $$ $$ \angle DAB + \angle BCD = \frac{1}{2}(\alpha + \beta) $$ Sustituye $\alpha + \beta = 360^\circ$: $$ \angle DAB + \angle BCD = \frac{1}{2}(360^\circ) = 180^\circ $$
Como la suma de todos los ángulos interiores de un cuadrilátero es $360^\circ$, esto significa que el otro par de ángulos también suma $180^\circ$: $$ \angle ABC + \angle CDA = 360^\circ - (\angle DAB + \angle BCD) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ $$
$\square$