Dos Tangentes desde un Punto

Teoría

El "Teorema de las Dos Tangentes" (al que a veces le dicen el "Teorema del Sombrero" o el "Teorema del Cono de Helado") describe las propiedades geométricas que surgen cuando trazas dos rectas tangentes a un círculo desde un solo punto exterior. El resultado fundamental es que las longitudes de los segmentos que van desde el punto exterior hasta los puntos de tangencia son iguales. Aunque su definición es simple, este teorema es una pieza clave de la geometría euclidiana y lo vas a usar un montón en competencias como el AMC 12 y el AIME para simplificar diagramas complejos que tengan incírculos, excírculos y polígonos tangenciales.

El poder de este concepto está en la simetría que genera. Cuando conectas un punto exterior con el centro del círculo, formas un eje de simetría para toda la figura. Esta simetría dicta no solo que las longitudes de las tangentes son iguales, sino también que la línea que une el punto exterior con el centro biseca el ángulo formado por las tangentes. Además, el cuadrilátero formado por el punto exterior, los dos puntos de tangencia y el centro del círculo siempre es un deltoide (o cometa) cíclico.

Al resolver problemas, este teorema suele ser la clave para encontrar longitudes desconocidas en polígonos tangenciales (como cuando usas el Teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales) o para determinar la relación entre los ángulos de un diagrama. También es un caso límite específico del teorema de la Potencia de un Punto: si tomas la potencia del punto exterior $P$ con respecto al círculo, la potencia es igual al cuadrado de la longitud de la tangente ($PA^2$). Como la potencia es constante para un punto y un círculo fijos, cualquier par de tangentes $PA$ y $PB$ deben cumplir que $PA^2 = PB^2$, y por lo tanto $PA = PB$.

Fórmulas Clave

Imagina que $P$ es un punto fuera de un círculo $\omega$ con centro $O$. Supón que las dos rectas que pasan por $P$ son tangentes a $\omega$ en los puntos $A$ y $B$.

Teorema Principal: $$PA = PB$$

Propiedades Angulares: Como el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia: $$\angle PAO = \angle PBO = 90^\circ$$

El segmento de recta $PO$ es una bisectriz: $$\angle APO = \angle BPO \quad \text{y} \quad \angle AOP = \angle BOP$$

Propiedades Cíclicas: El cuadrilátero $PAOB$ es cíclico (lo puedes inscribir en un círculo con diámetro $PO$) porque: $$\angle PAO + \angle PBO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

Cuerda de Contacto: Al segmento de recta $AB$ lo llamamos cuerda de contacto. La recta $PO$ es la mediatriz de $AB$: $$PO \perp AB$$

Demostración

Teorema: Sea $P$ un punto fuera de un círculo con centro $O$. Si $A$ y $B$ son puntos en el círculo tales que $PA$ y $PB$ son tangentes al círculo, entonces $PA = PB$.

Demostración:

1. Construcción: Traza los radios $OA$ y $OB$. Traza el segmento de recta que une el punto exterior $P$ con el centro $O$.

2. Identifica los ángulos rectos: Una propiedad fundamental de las tangentes es que la recta tangente es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia. Por lo tanto: $$OA \perp PA \implies \angle PAO = 90^\circ$$ $$OB \perp PB \implies \angle PBO = 90^\circ$$

3. Compara los triángulos: Considera los dos triángulos rectángulos $\triangle PAO$ y $\triangle PBO$.

4. Establece la congruencia:

   • $OA = OB$ porque ambos son radios del mismo círculo.
   • $PO = PO$ por la propiedad reflexiva (esta es la hipotenusa de ambos triángulos).
   • Como ambos triángulos son rectángulos, puedes aplicar el criterio de congruencia Hipotenusa-Cateto (HC).

5. Conclusión: $$\triangle PAO \cong \triangle PBO$$

6. Resultado: Por ser partes correspondientes de triángulos congruentes, los catetos que corresponden a las tangentes tienen la misma longitud: $$PA = PB$$

$\square$