El ángulo de rotación y el factor de escala de la transformación.
Una semejanza espiral es una transformación geométrica que combina una rotación y una homotecia (dilatación) centradas en el mismo punto. Si una semejanza espiral con centro en el punto $O$ manda el punto $A$ a $C$ y el punto $B$ a $D$, puedes decir que manda el segmento $AB$ al segmento $CD$. El ángulo espiral $\phi$ es el ángulo de rotación, y la razón $k$ es el factor de escala de la homotecia. Esta transformación es fundamental en la geometría de olimpiadas porque captura la relación entre dos figuras semejantes que comparten la misma orientación pero están rotadas y escaladas una respecto a la otra.
Este concepto es muy potente cuando analizas configuraciones que involucran círculos que se intersectan, cuadriláteros cíclicos y el Punto de Miquel. La usas seguido para demostrar que cuatro puntos son concíclicos o para calcular razones de segmentos en diagramas complejos. La idea más profunda sobre la semejanza espiral es la propiedad de "intercambio de pares": si una semejanza espiral con centro en $O$ manda $A \to C$ y $B \to D$, entonces existe una semejanza espiral relacionada con centro en $O$ que manda $A \to B$ y $C \to D$. Esta dualidad te permite pasar de los triángulos $\triangle OAC \sim$