Se mantiene igual bajo proyecciones.
La Razón Cruzada es el invariante fundamental en la geometría proyectiva. Mientras que la geometría euclidiana se enfoca en propiedades como la longitud y las medidas de los ángulos —que cambian cuando proyectas una figura en un plano diferente— la geometría proyectiva estudia propiedades que no cambian bajo una proyección. La razón cruzada es un valor escalar asociado a cuatro puntos colineales (o cuatro rectas concurrentes) que la perspectividad mantiene igual. Específicamente, si cuatro rectas que pasan por un solo punto $O$ intersecan a una recta $\ell$ en los puntos $A, B, C, D$ y a otra recta $\ell'$ en los puntos $A', B', C', D'$, la razón cruzada del primer conjunto de puntos es igual a la razón cruzada del segundo.
Esta invarianza te permite transformar problemas de geometría difíciles en configuraciones más simples. Por ejemplo, puedes proyectar un cuadrilátero general en un cuadrado, o mandar una recta al infinito para simplificar cálculos o demostraciones de concurrencia y colinealidad. En contextos de olimpiadas como el USAMO o la IMO, reconocer una configuración de razón cruzada te permite pasar información rápidamente entre diferentes rectas de un diagrama; muchas veces sirve como el puente entre condiciones métricas (razones de longitudes) y propiedades de incidencia.
Definición (Puntos): Para cuatro puntos colineales distintos $A, B, C, D$ en una recta, la definimos usando segmentos dirigidos: $$ (A,B; C,D) = \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}} \cdot \frac{\overline{BD}}{\overline{BC}} $$ Nota: Algunos textos definen el orden de forma distinta (por ejemplo, $\frac{AC}{CB} / \frac{AD}{DB}$). La definición de arriba es la convención estándar de "doble razón".
Definición (Rectas/Haz): Para un haz de cuatro rectas concurrentes $a, b, c, d$ que pasan por un punto $O$, la definimos mediante los senos de los ángulos entre ellas: $$ O(a,b; c,d) = \frac{\sin(a,c)}{\sin(a,d)} \cdot \frac{\sin(b,d)}{\sin(b,c)} $$ donde $(a,c)$ es el ángulo dirigido de la recta $a$ a la recta $c$.
El Teorema de Invarianza: Si un haz de cuatro rectas con centro en $O$ interseca a una recta transversal en los puntos $A, B, C, D$, entonces la razón cruzada de los puntos es igual a la razón cruzada de las rectas: $$ (A,B; C,D) = O(OA, OB; OC, OD) $$ Por lo tanto, si el mismo haz interseca a una recta transversal diferente en $A', B', C', D'$, entonces: $$ (A,B; C,D) = (A',B'; C',D') $$
Teorema: La razón cruzada de cuatro puntos colineales $A, B, C, D$ es igual a la