Asíntotas, focos y excentricidad.
Geométricamente, definimos una hipérbola como el lugar geométrico de todos los puntos $P$ en un plano tales que la diferencia absoluta de las distancias de $P$ a dos puntos fijos, llamados focos ($F_1$ y $F_2$), es una constante positiva $2a$. Mientras que la elipse representa una suma acotada de distancias, la hipérbola representa una diferencia no acotada. Esta sección cónica consiste en dos componentes desconectadas, o "ramas", que se extienden al infinito.
En las matemáticas de competencia, como el AMC 12 y el AIME, las hipérbolas aparecen seguido en problemas de geometría analítica que involucran optimización o determinación de lugares geométricos. Entender la relación entre los parámetros algebraicos ($a, b, c$) y las características geométricas (focos, vértices, asíntotas) es crucial. Un punto clave para resolver estos problemas es reconocer que la forma de la hipérbola está limitada por sus asíntotas: líneas a las que la curva se acerca pero nunca toca a medida que la distancia desde el origen tiende al infinito.
Qué tan "plana" o "abierta" es la hipérbola lo determina su excentricidad, $e$. Para una hipérbola, $e > 1$. Un caso específico y común en las competencias es la hipérbola rectangular (o equilátera), donde las asíntotas son perpendiculares entre sí. Esto