Las rectas que pasan por el centro no cambian; las demás se vuelven círculos.
La inversión es una transformación geométrica poderosa que "pone el espacio al revés" respecto a un círculo de referencia, al que llamamos el círculo de inversión. Si tienes un círculo $\omega$ con centro $O$ y radio $R$, la inversión de un punto $P$ (distinto de $O$) es el punto $P'$ que está en el rayo $OP$ de tal forma que $OP \cdot OP' = R^2$. Aunque la inversión afecta a todas las figuras geométricas, su efecto en las rectas es muy especial y útil. Cómo se comporta una recta bajo la inversión depende totalmente de si la recta pasa por el centro de inversión $O$ o no.
Si una recta pasa por el centro $O$, el rayo $OP$ coincide con la recta misma. Por lo tanto, el conjunto de puntos que forman la recta vuelve a caer en la misma recta (aunque los puntos individuales cambien de lugar). Pero, si una recta $\ell$ no pasa por $O$, su inversa es un círculo que pasa por $O$. Al revés, la inversa de un círculo que pasa por $O$ es una recta que no pasa por $O$. Esta dualidad te permite transformar problemas difíciles de rectas y círculos tangentes en configuraciones que pueden ser más simples con puros círculos, o viceversa.
Esta técnica es indispensable en la geometría avanzada de olimpiadas, sobre todo para problemas con varios círculos tangentes (como los problemas de Apollonius) o configuraciones de