AC·BD = AB·CD + AD·BC para cuadriláteros cíclicos.
El Teorema de Ptolemy es un resultado fundamental en la geometría euclidiana que trata sobre la relación entre los lados y las diagonales de un cuadrilátero cíclico. Dice que para un cuadrilátero inscrito en un círculo, el producto de las longitudes de las dos diagonales es igual a la suma de los productos de las longitudes de los pares de lados opuestos. Aunque la Desigualdad de Ptolemy aplica para todos los cuadriláteros (la cual establece que el producto de las diagonales es menor o igual a la suma de los productos de los lados opuestos), la igualdad se cumple si y solo si los vértices están sobre un círculo en orden consecutivo.
Este teorema es una herramienta crucial en las matemáticas de competencia y aparece seguido en el AMC 12, AIME y USAMO. Te permite calcular la longitud de una diagonal si ya conoces los lados, o relacionar las longitudes de las cuerdas en un círculo sin tener que recurrir a geometría analítica compleja o a aplicaciones repetidas de la Ley de Cosenos. Es especialmente poderoso cuando lo combinas con propiedades de polígonos regulares o cuando analizas configuraciones que involucran circuncírculos de triángulos.
Más allá de calcular longitudes, el Teorema de Ptolemy te da una visión estructural profunda. Puedes usarlo para derivar las fórmulas de suma trigonométrica (como $\sin(\alpha + \beta)$) al inscribir un cuadrilátero en un círculo de diámetro unitario