Punto P' tal que OP·OP' = r².
La inversión es una transformación geométrica muy potente que actúa como una reflexión sobre un círculo, en lugar de una línea. Si tienes un círculo fijo $\omega$ con centro $O$ y radio $r$ (llamado el círculo de inversión), el inverso de un punto $P$ (distinto de $O$) es el punto $P'$ que está en el rayo $OP$ tal que $OP \cdot OP' = r^2$. Intuitivamente, esta transformación mapea el interior del círculo $\omega$ a su exterior y viceversa, mientras que los puntos en la circunferencia se quedan fijos. El centro $O$ se mapea al punto al infinito.
Esta técnica es fundamental en la geometría avanzada de olimpiadas porque simplifica configuraciones complejas que involucran círculos tangentes y cuadriláteros cíclicos. Si eliges un centro de inversión adecuado, los círculos que pasan por el centro se vuelven líneas, y los círculos que no pasan por el centro siguen siendo círculos (aunque sus centros cambian). Esto te permite transformar problemas difíciles de tangencias (como los problemas de Apollonius) o círculos concurrentes en configuraciones más simples con líneas rectas e intersecciones, que son más fáciles de analizar con geometría euclidiana estándar.
El poder de la inversión está en sus propiedades de preservación. Aunque distorsiona las distancias, preserva los ángulos entre curvas (es un mapeo conforme) y preserva la razón doble de cuatro puntos colineales. Un truco clave para resolver problemas es invertir alrededor de un punto donde se intersectan muchos círculos o líneas; esto "desenrolla" el diagrama, y muchas veces convierte un problema de cuadriláteros cíclicos en uno de paralelogramos o trapecios, o un problema de tres círculos tangentes en uno de tres líneas tangentes.
Definición Para un círculo de referencia con centro $O$ y radio $r$, el inverso $P'$ del punto $P$ cumple: $$ OP \cdot OP' = r^2 $$ donde $P'$ está en el rayo $OP$.
Fórmula de Distancia de Inversión Si los puntos $A$ y $B$ se invierten a $A'$ y $B'$ respectivamente, la distancia entre los puntos invertidos está dada por: $$ A'B' = \frac{r^2 \cdot AB}{OA \cdot OB} $$
Forma en Coordenadas Si el centro de inversión es el origen $(0,0)$ y el radio es $r$, un punto $P(x,y)$ se mapea a $P'(x', y')$: $$ x' = \frac{r^2 x}{x^2 + y^2}, \quad y' = \frac{r^2 y}{x^2 + y^2} $$
Forma con Números Complejos En el plano complejo, si el centro de inversión es el origen y el radio es $r$, la inversión de un número complejo $z$ está dada por: $$ z' = \frac{r^2}{\bar{z}} $$ Si $r=1$ (inversión en el círculo unitario), esto se simplifica a $z' = \frac{1}{\bar{z}}$.
Teorema: La Fórmula de Distancia de Inversión. Sean $A$ y $B$ dos puntos distintos del centro de inversión $O$. Sean sus inversos $A'$ y $B'$ respectivamente con respecto a un círculo de radio $r$ centrado en $O$. La idea es demostrar que $A'B' = \frac{r^2 \cdot AB}{OA \cdot OB}$.
Demostración:
Identifica las relaciones de definición: Por la definición de inversión, los puntos $A'$ y $B'$ están en los rayos $OA$ y $OB$ respectivamente, y cumplen: $$ OA \cdot OA' = r^2 \quad \text{y} \quad OB \cdot OB' = r^2 $$
Establece las razones: A partir de las ecuaciones de arriba, puedes escribir: $$ OA' = \frac{r^2}{OA} \quad \text{y} \quad OB' = \frac{r^2}{OB} $$ Considera la razón $\frac{OA}{OB}$. Puedes reacomodar la definición $OA \cdot OA' = OB \cdot OB'$ para encontrar que: $$ \frac{OA}{OB} = \frac{OB'}{OA'} $$
Identifica Triángulos Semejantes: Considera los triángulos $\triangle OAB$ y $\triangle OB'A'$.
Por el criterio de semejanza Lado-Ángulo-Lado (LAL), concluyes que: $$ \triangle OAB \sim \triangle OB'A' $$ (Nota el orden de los vértices: $A$ corresponde a $B'$ y $B$ corresponde a $A'$ debido a la naturaleza recíproca de la inversión).
Obtén la relación de distancia: Como los triángulos son semejantes, la razón de sus lados correspondientes es igual a la razón de semejanza: $$ \frac{A'B'}{AB} = \frac{OA'}{OB} $$
Sustituye $OA' = \frac{r^2}{OA}$ en la ecuación: $$ \frac{A'B'}{AB} = \frac{\frac{r^2}{OA}}{OB} = \frac{r^2}{OA \cdot OB} $$
Conclusión: Al multiplicar ambos lados por $AB$ obtienes la fórmula: $$ A'B' = \frac{r^2 \cdot AB}{OA \cdot OB} $$
$\square$