Promedio de las coordenadas de los vértices.
El centroide de un triángulo, que casi siempre vas a ver con la letra $G$, es el punto donde se cruzan las tres medianas del triángulo (los segmentos que conectan cada vértice con el punto medio del lado opuesto). En la geometría analítica, el centroide tiene una propiedad muy elegante y útil: sus coordenadas son simplemente el promedio aritmético de las coordenadas de los vértices del triángulo. Esto hace que el centroide sea uno de los centros del triángulo más fáciles de calcular en el plano cartesiano.
De forma intuitiva, el centroide representa el "centro de masa" geométrico o baricentro del triángulo. Si pusieras tres masas iguales en los vértices del triángulo, el punto de equilibrio de este sistema sería el centroide. Como el promedio es una operación lineal, esta propiedad funciona por separado para las coordenadas $x$ y las coordenadas $y$. Este concepto es fundamental en geometría analítica y lo usan muchísimo en el AMC 10 y 12 para simplificar problemas de vectores, áreas o lugares geométricos donde los vértices vienen dados por coordenadas.
Entender las coordenadas del centroide también es la puerta de entrada para usar vectores en geometría. Si tratas a los vértices como vectores de posición desde el origen, la fórmula del centroide te permite manipular algebraicamente y de forma rápida las relaciones geométricas, como probar colinealidad o encontrar distancias, sin tener que depender solo de construcciones de geometría sintética.
Imagina que tienes un triángulo con vértices en las coordenadas $A = (x_A, y_A)$, $B = (x_B, y_B)$ y $C = (x_C, y_C)$.
Fórmula de Coordenadas Las coordenadas del centroide $G = (x_G, y_G)$ las calculas así: $$ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) $$
Forma Vectorial Si $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$ son los vectores de posición de los vértices respecto a un origen $O$, el vector de posición del centroide $\vec{g}$ es: $$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} $$
Contexto de la Fórmula de División de Segmentos El centroide divide a cada mediana en una razón de $2:1$. Si $M$ es el punto medio del lado $BC$, entonces $G$ está en el segmento $AM$ de tal forma que: $$ AG : GM = 2 : 1 $$
Teorema: Las coordenadas del centroide de un triángulo con vértices $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ y $C(x_C, y_C)$ son el promedio de las coordenadas de sus vértices.
Demostración: Toma a $M$ como el punto medio del lado $BC$. Usando la fórmula del punto medio, las coordenadas de $M$ son: $$ M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) $$
Una propiedad muy conocida del centroide $G$ es que está sobre la mediana $AM$ y la divide en una razón de $2:1$, donde $G$ está más cerca del punto medio $M$. Específicamente, $AG = 2GM$.
Aquí aplica la Fórmula de División de Segmentos (que también puedes encontrar como fórmula de división interna). Para un punto $P$ que divide a un segmento con extremos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ en la razón $m:n$, las coordenadas de $P$ son: $$ P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) $$
En este caso, el segmento es $AM$. Los extremos son $A(x_A, y_A)$ y $M(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2})$. El centroide $G$ divide a $AM$ en la razón $m:n = 2:1$.
Sustituye estos valores en la fórmula de división para la coordenada $x$ de $G$: $$ x_G = \frac{2 \cdot x_M + 1 \cdot x_A}{2 + 1} $$ $$ x_G = \frac{2 \left( \frac{x_B + x_C}{2} \right) + x_A}{3} $$ $$ x_G = \frac{(x_B + x_C) + x_A}{3} = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} $$
De la misma forma, para la coordenada $y$: $$ y_G = \frac{2 \cdot y_M + 1 \cdot y_A}{3} $$ $$ y_G = \frac{2 \left( \frac{y_B + y_C}{2} \right) + y_A}{3} $$ $$ y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} $$
Así, las coordenadas del centroide son $\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)$. $\square$