Ángulo entre Tangente y Cuerda

Teoría

El Teorema del Ángulo entre Tangente y Cuerda, que a veces vas a encontrar como el Teorema del Segmento Alterno, es un resultado básico de la geometría euclidiana sobre círculos. Describe la relación entre una línea tangente que toca a un círculo y una cuerda que sale del punto de tangencia. Para ser exactos, el teorema dice que el ángulo que se forma entre una tangente y una cuerda que pasa por el punto de contacto es igual al ángulo que subtiende la cuerda en el segmento alterno del círculo.

Este teorema es una herramienta clave para hacer "angle chasing" (cacería de ángulos) en matemáticas de competencia, sobre todo en exámenes como el AMC 10/12 y el AIME. Sirve como un puente súper importante que conecta la geometría de las líneas de afuera del círculo (tangentes) con la geometría de adentro (ángulos inscritos y cuadriláteros cíclicos). Sin este teorema, tratar de relacionar ángulos con tangentes y ángulos dentro del círculo suele requerir construcciones muy pesadas que involucran el centro del círculo.

De forma intuitiva, puedes ver este teorema como un caso límite del Teorema del Ángulo Inscrito normal. Si te imaginas una línea secante que corta al círculo en dos puntos, $A$ y $B$, y un ángulo inscrito que subtiende el arco $AB$, conforme el punto $B$ se mueve por el círculo para acercarse a $A$, la secante se va convirtiendo en la tangente en $A$. El ángulo que forman la secante y la cuerda se acerca al ángulo que forman la tangente y la cuerda, manteniendo la igualdad con el ángulo inscrito.

Fórmulas Clave

Imagina que $\Gamma$ es un círculo y que la línea $XY$ es tangente a $\Gamma$ en el punto $A$. Toma una cuerda $AB$ del círculo y un punto $C$ en el círculo, de tal forma que $C$ y el rayo tangente $AY$ estén en lados opuestos de la cuerda $AB$.

El Teorema del Ángulo entre Tangente y Cuerda dice que: $$ \angle BAY = \angle BCA $$

De la misma forma, si $D$ es un punto en el círculo que está del mismo lado de la cuerda $AB$ que el rayo $AY$ (formando un cuadrilátero cíclico $ACBD$), el ángulo obtuso que forman el rayo tangente $AX$ (el opuesto a $AY$) y la cuerda es: $$ \angle BAX = \angle BDA $$

Caso Especial (Ángulo Recto): Si $AB$ es un diámetro, el ángulo entre la tangente y la cuerda es de $90^\circ$. Por lo tanto, el ángulo inscrito $\angle BCA$ también mide $90^\circ$, lo cual coincide con el Teorema de Thales.

Demostración

Teorema: El ángulo entre una tangente y una cuerda que pasa por el punto de contacto es igual al ángulo en el segmento alterno.

Datos:

• Un círculo con centro $O$.
• Una línea tangente $XY$ que toca al círculo en el punto $A$.
• Una cuerda $AB$.
• Un punto $C$ en el arco mayor $AB$ (para que el ángulo $\angle BCA$ esté en el segmento alterno respecto al ángulo $\angle BAY$).

Lo que hay que demostrar: $$ \angle BAY = \angle BCA $$

Demostración:

1. Construcción: Dibuja el diámetro del círculo que empieza en $A$ y pasa por el centro $O$. Ponle $D$ al otro extremo de este diámetro. Une $D$ con $B$ para formar la cuerda $DB$.

2. Propiedad de la Tangente: Como $XY$ es tangente al círculo en $A$ y $AD$ es un diámetro (y por lo tanto contiene al radio que va al punto de tangencia), el radio es perpendicular a la tangente. $$ \angle DAY = 90^\circ $$

3. Descomponiendo el Ángulo: El ángulo $\angle DAY$ está formado por $\angle DAB$ y $\angle BAY$. Así que: $$ \angle BAY = 90^\circ - \angle DAB $$

4. Propiedad del Semicírculo: Fíjate en el triángulo $\triangle ABD$. Como $AD$ es un diámetro, el ángulo que subtiende el diámetro en la circunferencia es un ángulo recto. $$ \angle ABD = 90^\circ $$

5. Suma del Triángulo: En el triángulo rectángulo $\triangle ABD$, la suma de los ángulos agudos es $90^\circ$. $$ \angle ADB + \angle DAB = 90^\circ \implies \angle ADB = 90^\circ - \angle DAB $$

6. Igualando Ángulos: Si comparas lo que salió en el paso 3 y en el paso 5, verás que tanto $\angle BAY$ como $\angle ADB$ son complementarios a $\angle DAB$. Por lo tanto: $$ \angle BAY = \angle ADB $$

7. Ángulos Inscritos: Los ángulos que subtienden el mismo arco ($AB$) en la circunferencia son iguales. Como $C$ y $D$ están en el arco mayor, subtienden el mismo arco $AB$. $$ \angle ADB = \angle BCA $$

8. Conclusión: Por transitividad de los pasos 6 y 7: $$ \angle BAY = \angle BCA $$

$\square$