Puntos medios entre los vértices y el ortocentro.
Los puntos medios de los segmentos de Euler (que a veces simplemente les decimos puntos de Euler) son los tres puntos que están justo a la mitad de los segmentos que conectan los vértices de un triángulo con su ortocentro. Si $H$ es el ortocentro del $\triangle ABC$, los puntos de Euler son los puntos medios de los segmentos $AH$, $BH$ y $CH$. Estos puntos son tres de los nueve puntos que definen la famosa Circunferencia de los Nueve Puntos; los otros seis son los puntos medios de los lados y los pies de las alturas.
Estos puntos sirven como un puente súper importante entre la geometría del ortocentro y el circuncírculo. La mejor forma de entender por qué existen y dónde están es a través de las propiedades de la homotecia. Específicamente, los puntos de Euler son las imágenes de los vértices del triángulo bajo una homotecia con centro en el ortocentro $H$ y razón $1/2$. Como esta homotecia mapea el circuncírculo del $\triangle ABC$ a la Circunferencia de los Nueve Puntos, los puntos de Euler te dan un vínculo geométrico directo entre el circunradio $R$ y la geometría del triángulo medial.
En las olimpiadas de matemáticas, vas a usar seguido los puntos medios de los segmentos de Euler para resolver problemas sobre distancias entre centros del triángulo, propiedades del ortocentro o cuadriláteros cíclicos que estén metidos en el triángulo.