Intersección de medianas en razón 2:1.
El baricentro de un triángulo, que normalmente escribes como $G$, es el punto donde se cruzan las tres medianas del triángulo. La mediana es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Aunque un triángulo tiene muchos centros (circuncentro, incentro, ortocentro), el baricentro es único porque funciona como el "centro de masa" geométrico. Si cortaras un triángulo físico de un material uniforme, se quedaría en equilibrio perfecto sobre la punta de un alfiler puesto justo en el baricentro.
La propiedad más poderosa del baricentro para las olimpiadas de matemáticas es su ubicación a lo largo de las medianas. El baricentro divide a cada mediana en una razón de $2:1$, contando desde el vértice. Específicamente, la distancia de un vértice al baricentro es el doble de la distancia que hay del baricentro al punto medio del lado opuesto. Esta propiedad te permite calcular longitudes dentro de un triángulo sin tener que recurrir a geometría analítica complicada y sirve como un puente entre las propiedades de los vértices y las de los lados.
Además de las razones de longitud, el baricentro y las medianas tienen propiedades de área muy elegantes. Las tres medianas dividen al triángulo en seis triángulos más pequeños de igual área. Además, si unes el baricentro con los tres vértices, divides el triángulo original en tres triángulos ($ \triangle GAB, \triangle GBC, \triangle GCA $) y cada uno tiene exactamente un tercio del área total. Estas manipulaciones de áreas son herramientas muy comunes para resolver problemas de geometría en concursos como el AMC 10 y 12 que involucran razones y disecciones.
La razón 2:1 Para un triángulo $ABC$ con medianas $AD$, $BE$ y $CF$ que se cruzan en el baricentro $G$ (donde $D, E, F$ son los puntos medios de los lados $a, b, c$ respectivamente): $$ AG = 2GD, \quad BG = 2GE, \quad CG = 2GF $$ $$ AG = \frac{2}{3}AD, \quad GD = \frac{1}{3}AD $$
Longitud de una mediana (Teorema de Apollonius) La longitud de la mediana $m_a$ (desde el vértice $A$ hasta el lado $a$) la calculas así: $$ m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} $$
Propiedades de área Las medianas dividen al $\triangle ABC$ en seis triángulos de igual área: $$ [AFG] = [FBG] = [BDG] = [DCG] = [CEG] = [EAG] = \frac{1}{6}[ABC] $$ El baricentro forma tres triángulos de igual área con los vértices: $$ [GAB] = [GBC] = [GCA] = \frac{1}{3}[ABC] $$
Definición por vectores o coordenadas Si los vértices tienen vectores de posición $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$, el baricentro $\vec{G}$ es el promedio aritmético: $$ \vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} $$
Teorema: Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto $G$ que divide a cada mediana en una razón de $2:1$.
Demostración: Toma un triángulo $\triangle ABC$. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de los lados $BC$ y $AC$, respectivamente. Deja que las medianas $AD$ y $BE$ se crucen en un punto $G$.
Paso 1: Establecer semejanza Dibuja el segmento $DE$. Por el Teorema de la línea media, como $D$ y $E$ son puntos medios de dos lados, el segmento que los une es paralelo al tercer lado $AB$ y mide la mitad. $$ DE \parallel AB \quad \text{y} \quad DE = \frac{1}{2}AB $$
Ahora fíjate en el $\triangle ABG$ y el $\triangle DEG$. Como $AB \parallel DE$, los ángulos alternos internos son iguales: $$ \angle BAG = \angle EDG \quad \text{y} \quad \angle ABG = \angle DEG $$ Por lo tanto, por semejanza AA: $$ \triangle ABG \sim \triangle DEG $$
Paso 2: Determinar la razón Como los triángulos son semejantes, la razón entre sus lados correspondientes es constante. Ya sabes que la razón de $AB$ a $DE$ es $2:1$ (por el Teorema de la línea media). Así que los otros lados correspondientes deben tener la misma razón: $$ \frac{AG}{GD} = \frac{BG}{GE} = \frac{AB}{DE} = \frac{2}{1} $$ Esto demuestra que $G$ divide a la mediana $AD$ de tal forma que $AG = 2GD$ (o sea, $AG = \frac{2}{3}AD$).
Paso 3: Demostrar la concurrencia Ahora, considera que la mediana $CF$ cruza a la mediana $AD$ en un punto $G'$. Si repites exactamente la misma lógica de arriba (usando los puntos medios de $BC$ y $AB$), puedes ver que el punto de intersección $G'$ debe dividir a la mediana $AD$ en una razón de $2:1$ desde $A$.
Como solo existe un único punto en el segmento $AD$ que lo divide en una razón de $2:1$, el punto $G'$ tiene que ser el mismo que el punto $G$.
Así, las tres medianas pasan por el mismo punto $G$, y este punto divide a cada mediana en una razón de $2:1$. $\square$