Fórmulas para la longitud de las diagonales.
En la geometría de los cuadriláteros cíclicos, las longitudes de las diagonales están determinadas únicamente por las longitudes de los cuatro lados. Aunque el Teorema de Ptolemy relaciona el producto de las diagonales con la suma de los productos de los lados opuestos ($pq = ac + bd$), no separa individualmente las longitudes de las diagonales. Las fórmulas específicas para las longitudes de las diagonales son herramientas poderosas en las matemáticas de competencia, ya que te permiten calcular directamente las estructuras internas de un cuadrilátero sin tener que calcular ángulos primero.
Estas fórmulas son especialmente útiles en problemas donde un cuadrilátero cíclico se define solo por las longitudes de sus lados, algo que suele aparecer en cálculos que involucran el circunradio (usando la fórmula de Parameshvara) o al aplicar una inversión centrada en un vértice. La demostración se basa en la Ley de Cosenos combinada con la propiedad fundamental de los cuadriláteros cíclicos: los ángulos opuestos son suplementarios. Esta simetría algebraica refleja las restricciones geométricas impuestas por el circuncírculo.
Dominar estas fórmulas te da una ventaja importante en problemas de geometría computacional que aparecen en competencias como el AIME. En lugar de depender de manipulaciones trigonométricas complejas o de construir triángulos semejantes, puedes reducir el problema a una evaluación algebraica. Además, la razón de las diagonales (que a menudo se le atribuye a Hipparchus) te da información sobre las propiedades armónicas del cuadrilátero y se usa con frecuencia para establecer razones de semejanza.
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con longitudes de lados $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$ y $DA=d$. Sean las diagonales $p = AC$ y $q = BD$.
Fórmulas para la Longitud de las Diagonales: Las longitudes de las diagonales están dadas por: $$ p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}} $$ $$ q = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}} $$
Teorema de Hipparchus (Razón de las Diagonales): Al dividir las dos fórmulas de arriba, obtienes la razón de las diagonales: $$ \frac{p}{q} = \frac{ad+bc}{ab+cd} $$
Teorema de Ptolemy (Producto de las Diagonales): Si multiplicas las dos fórmulas, puedes verificar el Teorema de Ptolemy: $$ pq = ac+bd $$
Fórmula del Circunradio: Usando la longitud de la diagonal $p$, puedes encontrar el circunradio $R$ con la ley de senos en el $\triangle ABC$, o de forma más directa usando el área $K$ (Fórmula de Brahmagupta): $$ R = \frac{1}{4K}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)} $$
Aquí vas a ver cómo obtener la fórmula para la diagonal $p$ (el segmento $AC$) usando la Ley de Cosenos. Toma las longitudes de los lados como $a, b, c, d$ correspondientes a $AB, BC, CD, DA$.
Paso 1: Aplica la Ley de Cosenos Fíjate en el $\triangle ABC$ y el $\triangle ADC$. Puedes expresar el cuadrado de la diagonal $p$ en ambos triángulos:
Paso 2: Usa la Propiedad Cíclica Como $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos suman $180^\circ$. Por lo tanto, $B + D = 180^\circ$, lo que implica que: $$ \cos D = \cos(180^\circ - B) = -\cos B $$ Si sustituyes esto en la segunda ecuación del Paso 1, tienes: $$ p^2 = c^2 + d^2 + 2cd \cos B $$
Paso 3: Elimina $\cos B$ Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones:
Para eliminar el término $\cos B$, multiplica la primera ecuación por $cd$ y la segunda por $ab$:
Al sumar estas dos ecuaciones, el término del coseno se cancela: $$ (ab + cd)p^2 = cd(a^2 + b^2) + ab(c^2 + d^2) $$
Paso 4: Factoriza la Expresión Expande el lado derecho y reagrupa los términos para factorizar: $$ \begin{aligned} (ab + cd)p^2 &= a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2 \ &= (a^2cd + abc^2) + (b^2cd + abd^2) \ &= ac(ad + bc) + bd(bc + ad) \ &= (ac + bd)(ad + bc) \end{aligned} $$
Paso 5: Despeja $p$ Si divides entre $(ab + cd)$ y sacas la raíz cuadrada, llegas a la fórmula final: $$ p^2 = \frac{(ac + bd)(ad + bc)}{ab + cd} \implies p = \sqrt{\frac{(ac + bd)(ad + bc)}{ab + cd}} $$
La demostración para la diagonal $q$ es idéntica, solo tienes que intercambiar los roles de los lados para enfocarte en el $\triangle BAD$ y el $\triangle BCD$. $\square$