Semejanza

Teoría

La semejanza es un concepto fundamental en la geometría euclidiana que describe dos figuras que tienen exactamente la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. De forma técnica, dos figuras geométricas son semejantes si puedes obtener una a partir de la otra mediante una transformación de semejanza, que es una composición de un movimiento rígido (traslación, rotación, reflexión) y un escalamiento uniforme (homotecia). En el contexto de los polígonos, específicamente los triángulos, esto implica dos condiciones críticas: los ángulos correspondientes son iguales y las razones de las longitudes de los lados correspondientes son constantes. A esta razón constante la conocemos como factor de escala o razón de semejanza.

En las matemáticas de competencia, la semejanza es probablemente la herramienta más poderosa para calcular longitudes. Mientras que la congruencia te permite igualar segmentos directamente, la semejanza te deja transferir información entre figuras de diferentes tamaños. Se usa seguido junto con líneas paralelas (que naturalmente generan ángulos iguales y, por lo tanto, triángulos semejantes) y cuadriláteros cíclicos (donde los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales). Dominar la semejanza es esencial para resolver problemas complejos que involucran alturas, medianas y círculos tangentes, y muchas veces sirve como el paso intermedio para establecer relaciones como la Potencia de un Punto o el Teorema de Ptolomeo.

La intuición detrás de la semejanza es como la de una función de "zoom". Si le haces zoom a un triángulo, los ángulos no cambian —las esquinas siguen igual de picudas o romas— pero las longitudes de los lados aumentan proporcionalmente. Si escalas un triángulo por un factor de $k$, cada dimensión lineal (lados, alturas, medianas, perímetros) se multiplica por $k$. Sin embargo, un detalle clave para problemas avanzados es cómo este escalamiento afecta a dimensiones mayores: el área escala por $k^2$ y el volumen escala por $k^3$. Reconocer estas relaciones te permite resolver rápido problemas que involucran razones de áreas sin tener que calcular valores específicos de base o altura.

Fórmulas Clave

Criterios de Semejanza para Triángulos Dos triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son semejantes (lo escribimos como $\triangle ABC \sim \triangle DEF$) si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:

1. AA (Ángulo-Ángulo): Dos ángulos correspondientes son iguales. $$ \angle A = \angle D \quad \text{y} \quad \angle B = \angle E $$ (Nota: Como los ángulos suman $180^\circ$, esto implica que los terceros ángulos también son iguales).

2. LAL (Lado-Ángulo-Lado): Dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos entre ellos son iguales. $$ \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} \quad \text{y} \quad \angle A = \angle D $$

3. LLL (Lado-Lado-Lado): Los tres pares de lados correspondientes son proporcionales. $$ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k $$

Teorema Fundamental de la Semejanza (Teorema de Tales) Si una línea paralela al lado $BC$ del $\triangle ABC$ corta a $AB$ en $D$ y a $AC$ en $E$, entonces: $$ \triangle ADE \sim \triangle ABC $$ Esto implica la razón de los segmentos: $$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} $$

Razones de Figuras Semejantes Si dos figuras son semejantes con un factor de escala (razón de lados correspondientes) de $k = \frac{s_1}{s_2}$:

• Razón de Longitudes: (Perímetros, Alturas, Radios) $$ \frac{P_1}{P_2} = k $$
• Razón de Áreas: $$ \frac{\text{Área}_1}{\text{Área}_2} = k^2 $$
• Razón de Volúmenes: (Para sólidos 3D semejantes) $$ \frac{\text{Vol}_1}{\text{Vol}_2} = k^3 $$

Semejanza en Triángulos Rectángulos En un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ con ángulo recto en $C$, la altura $h$ trazada hacia la hipotenusa $c$ divide al triángulo en dos triángulos más pequeños que son semejantes al original y entre sí: $$ \triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD $$ Esto nos da los teoremas de la media geométrica: $$ h^2 = p \cdot q \quad (\text{donde } p, q \text{ son segmentos de la hipotenusa}) $$ $$ a^2 = c \cdot p \quad \text{y} \quad b^2 = c \cdot q $$

Demostración

Teorema: El Criterio de Semejanza AA. Enunciado: Dados dos triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$, si $\angle A = \angle D$ y $\angle B = \angle E$, entonces $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. Específicamente, sus lados correspondientes son proporcionales.

Demostración:

1. Configuración y Construcción: Toma dos triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ tales que $\angle A = \angle D$ y $\angle B = \angle E$. Si $AB = DE$, los triángulos son congruentes por ALA y la razón de los lados es 1. Supón que $AB \neq DE$. Sin pérdida de generalidad, deja que $AB > DE$. Marca un punto $P$ en el segmento $AB$ tal que $AP = DE$. Traza una línea que pase por $P$ y sea paralela a $BC$, que corte a $AC$ en el punto $Q$.

2. Estableciendo la Congruencia: Considera el $\triangle APQ$. Como $PQ \parallel BC$, por el postulado de ángulos correspondientes, tienes que: $$ \angle APQ = \angle ABC $$ Sabemos que $\angle ABC = \angle DEF$. Por lo tanto: $$ \angle APQ = \angle DEF $$ También sabemos que $\angle A = \angle D$ (que es $\angle PAQ = \angle EDF$). Por construcción, el lado $AP = DE$. Así que, por el criterio de congruencia ALA (Ángulo-Lado-Ángulo): $$ \triangle APQ \cong \triangle DEF $$

3. Usando el Teorema Fundamental de la Proporcionalidad: Como $PQ \parallel BC$ en el $\triangle ABC$, el Teorema Fundamental de la Proporcionalidad (Teorema de Tales) dice que los lados del triángulo pequeño formados por la línea paralela son proporcionales a los lados del triángulo grande: $$ \frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC} $$

4. Sustitución: De la congruencia $\triangle APQ \cong \triangle DEF$ que establecimos en el paso 2, sabes que las partes correspondientes son iguales: $$ AP = DE, \quad AQ = DF, \quad PQ = EF $$ Sustituye estas longitudes en la ecuación de proporcionalidad del paso 3: $$ \frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{EF}{BC} $$

5. Conclusión: Ya mostramos que si los ángulos correspondientes son iguales, las razones de los lados correspondientes también son iguales. Por lo tanto, los triángulos son semejantes.

$\square$