Los lados opuestos se cortan en una misma línea.
El Teorema del Hexágono de Pascal (que a veces solo le dicen Teorema de Pascal) es un resultado fundamental de la geometría proyectiva que describe una propiedad de colinealidad muy profunda de puntos que salen de un hexágono inscrito en una sección cónica. El teorema dice que si inscribes un hexágono en una cónica (como un círculo, elipse, parábola o hipérbola), entonces los puntos de intersección de los tres pares de lados opuestos son colineales. A la línea que pasa por estos tres puntos se le conoce como la Línea de Pascal. En las olimpiadas de matemáticas, la cónica casi siempre es un círculo, lo que hace que esta sea una herramienta súper potente para demostrar colinealidad en configuraciones cíclicas.
Este teorema es muy versátil porque el "hexágono" no tiene que ser convexo ni simple; puedes conectar los vértices $A, B, C, D, E, F$ en cualquier orden sobre la cónica. Un hexágono que se cruza a sí mismo es perfectamente válido, siempre y cuando definas los lados en orden ($AB, BC, CD, DE, EF, FA$). Esta flexibilidad te permite etiquetar los puntos de forma estratégica para forzar que ciertos puntos de intersección caigan en la Línea de Pascal.
El Teorema de Pascal une la geometría de incidencia con las propiedades métricas de las curvas. Es el dual proyectivo del Teorema de Brianchon y generaliza el Teorema del Hexágono de Pappus (que se aplica a una cónica degenerada que consiste en dos líneas). En competencias avanzadas como la USAMO o la IMO, el Teorema de Pascal se usa seguido junto con la inversión o transformaciones de polo y polar, y es esencial para manejar casos "degenerados" donde los vértices coinciden, convirtiendo las cuerdas en líneas tangentes.
Enunciado General Imagina que tienes seis puntos distintos $A, B, C, D, E, F$ en una sección cónica (normalmente un círculo). Digamos que las líneas que contienen los lados del hexágono son $AB, BC, CD, DE, EF, FA$. Los puntos de intersección de los lados opuestos son: $$ P = AB \cap DE $$ $$ Q = BC \cap EF $$ $$ R = CD \cap FA $$ Entonces, los puntos $P, Q$ y $R$ son colineales.
Casos Degenerados (Tangentes) El teorema funciona incluso si los vértices adyacentes coinciden. Si $A$ y $B$ se juntan en un solo punto, la cuerda $AB$ se convierte en la tangente a la cónica en $A$. Por ejemplo, en un pentágono degenerado $ACCDE$ (donde $B \to A$), el "lado" $AB$ se reemplaza por la tangente en $A$. Si tienes un triángulo inscrito en un círculo con tangentes en los vértices, puedes tratarlo como un hexágono degenerado $AABBCC$.
Formulación con Razón Cruzada Proyectiva Para puntos en un círculo, la razón cruzada se preserva por proyección. El teorema de Pascal se puede escribir de forma equivalente usando razones cruzadas de haces de líneas: $$ (A; B, D, E, F) = (C; B, D, E, F) $$ Esta igualdad implica que la intersección de los rayos correspondientes cae en una línea.
Aquí tienes la demostración estándar usando el Teorema de Menelao y la Potencia de un Punto. Este enfoque es muy útil porque usa técnicas de geometría euclidiana que son comunes en el entrenamiento para olimpiadas.
Teorema: Sean $A, B, C, D, E, F$ puntos en un círculo. Sean $P = AB \cap DE$, $Q = BC \cap EF$ y $R = CD \cap FA$. Entonces $P, Q, R$ son colineales.
Demostración:
Construye un triángulo auxiliar: Extiende las líneas $AB$, $CD$ y $EF$ para formar un triángulo $XYZ$. Pon: $$ X = AB \cap EF $$ $$ Y = CD \cap AB $$ $$ Z = EF \cap CD $$ (Nota: Si algún par de estas líneas es paralelo, la intersección es un punto al infinito y la demostración se puede adaptar usando razones de segmentos, pero aquí la idea es suponer intersecciones finitas para el caso euclidiano general).
Aplica el Teorema de Menelao: Aplica el Teorema de Menelao al triángulo $XYZ$ usando las líneas formadas por los otros tres lados del hexágono ($BC$, $DE$ y $FA$).
La línea $BC$ corta a los lados $XZ$ en $Q$, $XY$ en $B$ y $YZ$ en $C$. (Nota: $B$ está en $XY$ porque $XY$ es la línea $AB$; $C$ está en $YZ$ porque $YZ$ es la línea $CD$). $$ \frac{XQ}{QZ} \cdot \frac{ZC}{CY} \cdot \frac{YB}{BX} = 1 \quad \text{(Ecuación 1)} $$ (Nota: Se usan longitudes sin signo para simplificar, suponiendo que checaste bien la orientación o la magnitud).
La línea $DE$ corta a los lados $XY$ en $P$, $YZ$ en $D$ y $XZ$ en $E$. $$ \frac{XP}{PY} \cdot \frac{YD}{DZ} \cdot \frac{$$