Radio de la Circunferencia de los Nueve Puntos

Teoría

La circunferencia de los nueve puntos es una construcción fundamental en la geometría del triángulo que pasa por nueve puntos específicos: los puntos medios de los lados, los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos que conectan el ortocentro con los vértices. Una propiedad sorprendente de este círculo es su tamaño comparado con el del triángulo original. Específicamente, el radio de la circunferencia de los nueve puntos es exactamente la mitad del radio de la circunferencia circunscrita del triángulo.

Esta relación es muy importante geométricamente porque establece una relación homotética entre la circunferencia circunscrita y la de los nueve puntos. Puedes ver la circunferencia de los nueve puntos como la imagen de la circunferencia circunscrita bajo una homotecia centrada en el ortocentro con una razón de $1/2$, o una homotecia centrada en el gravicentro con una razón de $-1/2$. Esta idea aparece seguido en competencias avanzadas (como el AIME o la USAMO) para resolver problemas que involucran la recta de Euler, cuadriláteros cíclicos formados por centros del triángulo y problemas de lugares geométricos donde la escala de la geometría está fija por el circunradio.

Entender que el radio de los nueve puntos es $R/2$ te permite calcular distancias y áreas rápidamente. Por ejemplo, como el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su radio, el área de la circunferencia de los nueve puntos es exactamente $1/4$ del área de la circunferencia circunscrita. Además, este radio fijo te da una restricción que simplifica las soluciones trigonométricas cuando aplicas la Ley de Senos Extendida a los triángulos medial u órtico.

Fórmulas Clave

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con circunradio $R$. Sea $N$ el centro de la circunferencia de los nueve puntos y $R_{N}$ su radio.

La fórmula principal para el radio de la circunferencia de los nueve puntos es: $$R_{N} = \frac{R}{2}$$

Esta relación funciona para las circunferencias circunscritas de los siguientes triángulos, los cuales comparten el mismo circunradio $R_{N}$:

1. El Triángulo Medial (sus vértices son los puntos medios de los lados del $\triangle ABC$).
2. El Triángulo Órtico (sus vértices son los pies de las alturas del $\triangle ABC$).
3. El Triángulo de Euler (sus vértices son los puntos medios de los segmentos $AH, BH, CH$, donde $H$ es el ortocentro).

Si usas la Ley de Senos Extendida en el triángulo medial con lados $a/2, b/2, c/2$ obtienes: $$\frac{a/2}{\sin A} = \frac{b/2}{\sin B} = \frac{c/2}{\sin C} = 2R_{N} = R$$

Demostración

Teorema: El radio de la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo es la mitad del radio de su circunferencia circunscrita.

Demostración: Toma el $\triangle ABC$ como el triángulo de referencia con lados $a, b, c$ y circunradio $R$. Marca los puntos medios de los lados $BC$, $CA$ y $AB$ como $M_a$, $M_b$ y $M_c$, respectivamente.

Paso 1: Identifica la circunferencia de los nueve puntos como una circunferencia circunscrita Por definición, la circunferencia de los nueve puntos pasa por los puntos medios de los lados del triángulo. Por lo tanto, la circunferencia de los nueve puntos es lo mismo que la circunferencia circunscrita del triángulo medial, $\triangle M_a M_b M_c$. Para encontrar el radio de la circunferencia de los nueve puntos, solo necesitas encontrar el circunradio del $\triangle M_a M_b M_c$.

Paso 2: Aplica el Teorema del Punto Medio Considera el segmento $M_b M_c$. Como $M_b$ y $M_c$ son puntos medios de $AC$ y $AB$, por el Teorema del Punto Medio tienes que: $$M_b M_c \parallel BC \quad \text{y} \quad M_b M_c = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$$ De la misma forma, $M_a M_c = \frac{b}{2}$ y $M_a M_b = \frac{c}{2}$.

Paso 3: Establece la semejanza Los lados del $\triangle M_a M_b M_c$ miden exactamente la mitad que los lados correspondientes del $\triangle ABC$. Como la razón entre los lados correspondientes es constante ($1:2$), tienes que: $$\triangle M_a M_b M_c \sim \triangle ABC$$ El coeficiente de semejanza (factor de escala) es $k = \frac{1}{2}$.

Paso 4: Relaciona los circunradios Cuando dos figuras son semejantes con un factor de escala $k$, todas las dimensiones lineales correspondientes escalan por $k$. Como el circunradio es una dimensión lineal, el circunradio del triángulo medial ($R_{medial}$) está relacionado con el circunradio del triángulo original ($R$) de esta forma: $$R_{medial} = k \cdot R$$ Si sustituyes $k = \frac{1}{2}$: $$R_{medial} = \frac{R}{2}$$

Conclusión Como la circunferencia de los nueve puntos es la circunferencia circunscrita del triángulo medial, su radio $R_{N}$ es igual a $R_{medial}$. Por lo tanto: $$R_{N} = \frac{R}{2}$$ $\square$