Usando razones de áreas.
El Teorema de Ceva es un resultado fundamental en la geometría euclidiana que te da una condición necesaria y suficiente para que tres cevianas de un triángulo se crucen en un mismo punto (o sea, que sean concurrentes). Una ceviana es simplemente un segmento de recta que va desde un vértice de un triángulo hasta el lado opuesto (o su extensión). El teorema relaciona las razones de los segmentos que se forman en los lados del triángulo con el punto donde se intersectan las cevianas. Es el dual del Teorema de Menelao, que trata sobre puntos que están en una misma línea (colinealidad).
En las olimpiadas de matemáticas, como el AMC 12 y el AIME, el Teorema de Ceva es una herramienta esencial. Te permite convertir problemas sobre intersección de líneas en problemas algebraicos usando razones de longitudes. De igual forma, te sirve para calcular longitudes de segmentos que no conoces cuando ya sabes que las líneas son concurrentes (como las medianas, bisectrices o alturas).
La demostración estándar del Teorema de Ceva se basa en el "Principio del Área" o el método de razones de áreas. La idea clave es que los triángulos que comparten la misma altura tienen áreas proporcionales a sus bases. Si aplicas este principio con cuidado y usas propiedades de las proporciones, puedes relacionar las razones de los segmentos en el perímetro del triángulo con las razones de las áreas de los triángulos internos más pequeños. Esta técnica es muy elegante porque las áreas se terminan cancelando y te queda un producto limpio y sin unidades.