Una fórmula poderosa para elevar números complejos a cualquier potencia.
El Teorema de De Moivre es un puente fundamental entre el álgebra compleja y la trigonometría. Dice que para cualquier número real $\theta$ y cualquier entero $n$, la expresión $(\cos \theta + i \sin \theta)^n$ es igual a $\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$. Intuitivamente, este teorema aprovecha la forma polar de los números complejos, donde multiplicar números complejos equivale a multiplicar sus magnitudes y sumar sus argumentos (ángulos). Como el número complejo $z = \cos \theta + i \sin \theta$ está en el círculo unitario con magnitud $1$, elevarlo a la potencia $n$ simplemente rota el punto por el ángulo $\theta$ exactamente $n$ veces, lo que resulta en un ángulo de $n\theta$.
Este teorema es indispensable en las matemáticas de competencia, especialmente para el AMC 12 y el AIME. Su utilidad principal está en simplificar cálculos que involucran potencias altas de números complejos, lo cual sería pesadísimo de hacer en forma rectangular ($a+bi$). Además, te da un método sistemático para encontrar las raíces $n$-ésimas de números complejos y de la unidad. Al convertir un número complejo a su forma polar, puedes calcular fácilmente raíces que forman polígonos regulares en el plano complejo.
Más allá de la aritmética, el Teorema de De Moivre es una herramienta poderosa para derivar identidades trigonométricas. Si expandes $(\cos \theta + i \sin \theta)^n$ usando el Teorema del Binomio e igualas las partes reales e imaginarias a $\cos(n\theta)$ y $\sin(n\theta)$ respectivamente, puedes expresar fórmulas de ángulos múltiples (como $\cos 3\theta$ o $\sin 5\theta$) en términos de potencias de $\cos \theta$ y $\sin \theta$. Esta técnica suele ser más rápida y menos propensa a errores que aplicar identidades de suma de ángulos una y otra vez.
Forma Estándar Para cualquier número real $\theta$ y entero $n$: $$ (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) $$ Usando la notación de Euler donde $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$, esto es equivalente a $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.
Forma General con Módulo Si $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, entonces: $$ z^n = [r(\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) $$
Raíces de un Número Complejo Para encontrar las $n$ raíces $n$-ésimas distintas de un número complejo $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, usa la fórmula para $k = 0, 1, \dots, n-1$: $$ z^{1/n} = r^{1/n} \left( \cos \left( \frac{\theta + 2\pi k}{n} \right) + i \sin \left( \frac{\theta + 2\pi k}{n} \right) \right) $$
Expansiones Trigonométricas Al comparar las partes reales e imaginarias de la expansión binomial de $(\cos \theta + i \sin \theta)^n$ con el resultado de De Moivre: $$ \cos(n\theta) = \text{Re}\left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos \theta)^{n-k} (i \sin \theta)^k \right) $$ $$ \sin(n\theta) = \text{Im}\left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos \theta)^{n-k} (i \sin \theta)^k \right) $$
Aquí tienes la demostración del Teorema de De Moivre para todos los enteros positivos $n$ usando el Principio de Inducción Matemática.
Teorema: $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ para $n \in \mathbb{Z}^+$.
Caso Base: Toma $n=1$. $$ (\cos \theta + i \sin \theta)^1 = \cos(1\cdot\theta) + i \sin(1\cdot\theta) $$ El lado izquierdo es igual al derecho. La afirmación funciona para $n=1$.
Paso Inductivo: Supón que la afirmación es cierta para algún entero positivo $k$. Es decir, supón que: $$ (\cos \theta + i \sin \theta)^k = \cos(k\theta) + i \sin(k\theta) $$ Lo que hay que mostrar es que la afirmación se cumple para $n = k+1$. $$ (\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = (\cos \theta + i \sin \theta)^k \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) $$ Sustituye la hipótesis inductiva: $$ = (\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)) \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) $$ Expande el producto usando la multiplicación estándar de complejos: $$ = \cos(k\theta)\cos \theta + i \cos(k\theta)\sin \theta + i \sin(k\theta)\cos \theta + i^2 \sin(k\theta)\sin \theta $$ Como $i^2 = -1$, agrupa las partes reales e imaginarias: $$ = [\cos(k\theta)\cos \theta - \sin(k\theta)\sin \theta] + i [\sin(k\theta)\cos \theta + \cos(k\theta)\sin \theta] $$ Ahora aplica las identidades trigonométricas de suma de ángulos:
Si tomas $A = k\theta$ y $B = \theta$: $$ = \cos(k\theta + \theta) + i \sin(k\theta + \theta) $$ $$ = \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta) $$ Así que, si la fórmula funciona para $n=k$, también funciona para $n=k+1$.
Conclusión: Por el Principio de Inducción Matemática, el teorema es cierto para todos los enteros positivos $n$. (Nota: Puedes extender la demostración a enteros negativos usando la identidad $(\cos \theta + i \sin \theta)^{-1} = \cos(-\theta) + i \sin(-\theta)$). $\square$