Números Complejos

Teoría

Los números complejos extienden el sistema de los números reales para permitir soluciones a ecuaciones como $x^2 + 1 = 0$. Un número complejo lo definimos como $z = a + bi$, donde $a$ y $b$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria que cumple $i^2 = -1$. En el contexto de las Olimpiadas de Matemáticas, los números complejos no son solo una curiosidad algebraica, sino un puente muy poderoso entre el álgebra, la geometría y la combinatoria. Te permiten manipular de forma elegante rotaciones y dilataciones en el plano, lo que a menudo simplifica problemas de geometría difíciles en cálculos algebraicos manejables (una técnica que conocemos como "complex bashing").

El verdadero poder de los números complejos en las competencias surge de su representación polar y de la fórmula de Euler. Al ver un número complejo como un vector en el plano de Argand, la multiplicación se convierte en una operación geométrica: multiplicar dos números complejos multiplica sus magnitudes y suma sus argumentos (ángulos). Esta propiedad hace que los números complejos sean el lenguaje natural para describir el movimiento circular, polígonos regulares y transformaciones rígidas.

Además, los números complejos son esenciales en la teoría de polinomios. El Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio de una sola variable, no nulo y de grado $n$ con coeficientes complejos tiene exactamente $n$ raíces en el plano complejo (contando multiplicidad). Esto lleva al estudio de las Raíces de la Unidad, que son fundamentales para resolver ecuaciones funcionales avanzadas, problemas de sumatorias con coeficientes binomiales y problemas de teoría de números relacionados con aritmética modular.

Fórmulas Clave

Aritmética Básica y Propiedades Para $z = a + bi$ y $w = c + di$:

• Módulo: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Conjugado: $\bar{z} = a - bi$
• Relación Módulo-Conjugado: $$z\bar{z} = |z|^2$$
• Desigualdad Triangular: $$|z + w| \le |z| + |w|$$

Forma Polar y Exponencial Para $z$ con módulo $r = |z|$ y argumento $\theta$:

• Fórmula de Euler: $$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$
• Forma Polar: $$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$$
• Multiplicación en Forma Polar: Si $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ y $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$, entonces: $$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$

Teorema de De Moivre Para cualquier entero $n$: $$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$

Raíces de la Unidad Las raíces $n$-ésimas de la unidad son las soluciones de $z^n = 1$. Las puedes encontrar con: $$\zeta_k = e^{i \frac{2\pi k}{n}} = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right), \quad k = 0, 1, \dots, n-1$$ Propiedades importantes:

• Suma de las Raíces: $$1 + \zeta + \zeta^2 + \dots + \zeta^{n-1} = 0$$ (para $n > 1$)
• Producto de las Raíces: $$\prod_{k=0}^{n-1} \zeta_k = (-1)^{n-1}$$

Geometría con Números Complejos

• Rotación: Para rotar un punto $z$ en sentido antihorario un ángulo $\theta$ respecto al origen, multiplícalo por $e^{i\theta}$.
• Rotación respecto a un punto $c$: $$z' - c = (z - c)e^{i\theta}$$
• Colinealidad: Los puntos $a, b, c$ son colineales si y solo si $\frac{b-a}{c-a} \in \mathbb{R}$.
• Perpendicularidad: Los segmentos $AB$ y $CD$ son perpendiculares si y solo si $\frac{d-c}{b-a} \in i\mathbb{R}$ (puramente imaginario).

Demostración

Teorema: Teorema de De Moivre Para cualquier entero $n \ge 1$ y número real $\theta$, $$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$

Demostración: La idea es usar inducción matemática sobre $n$.

Paso 1: Caso Base Para $n=1$, lo que tienes es: $$(\cos \theta + i \sin \theta)^1 = \cos(1\cdot\theta) + i \sin(1\cdot\theta)$$ Esto es claramente cierto.

Paso 2: Paso Inductivo Supón que el teorema se cumple para algún entero $k \ge 1$. Es decir, imagina que: $$(\cos \theta + i \sin \theta)^k = \cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$$ Lo que hay que mostrar es que el teorema se cumple para $n = k+1$. Toma $(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1}$. Por las leyes de los exponentes y la hipótesis inductiva: $$ \begin{aligned} (\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} &= (\cos \theta + i \sin \theta)^k \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) \ &= [\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)] \cdot [\cos \theta + i \sin \theta] \end{aligned} $$ Expande este producto usando la propiedad distributiva: $$ = \cos(k\theta)\cos \theta + i \cos(k\theta)\sin \theta + i \sin(k\theta)\cos \theta + i^2 \sin(k\theta)\sin \theta $$ Como $i^2 = -1$, agrupa las partes reales e imaginarias: $$ = [\cos(k\theta)\cos \theta - \sin(k\theta)\sin \theta] + i [\sin(k\theta)\cos \theta + \cos(k\theta)\sin \theta] $$ Ahora aplica las identidades de la suma de ángulos para el coseno y el seno:

1. $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
2. $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

Al sustituir $A = k\theta$ y $B = \theta$: $$ = \cos(k\theta + \theta) + i \sin(k\theta + \theta) \ = \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta) $$ Así, si la fórmula se cumple para $n=k$, también se cumple para $n=k+1$.

Paso 3: Conclusión Por el Principio de Inducción Matemática, el teorema se cumple para todos los enteros $n \ge 1$. (Nota: Puedes extender el teorema a enteros negativos usando la propiedad $z^{-n} = 1/z^n = \bar{z}^n$ para $|z|=1$). $\square$