Escribir una expresión como suma de cuadrados para demostrar que nunca es negativa.
El método de Suma de Cuadrados (SOS) es una técnica muy potente que sirve para demostrar desigualdades simétricas o cíclicas homogéneas con tres variables reales, que normalmente llamamos $a, b, c$. El principio fundamental se basa en la observación súper simple de que para cualquier número real $x$, $x^2 \ge 0$. Por lo tanto, si logras manipular una expresión $E(a,b,c)$ para que se vea como una suma de términos al cuadrado con coeficientes no negativos, ya demostraste la desigualdad $E(a,b,c) \ge 0$. Aunque la idea suena básica, el método te da un algoritmo sistemático para atacar desigualdades que son demasiado ajustadas para AM-GM o Cauchy-Schwarz, o donde los casos de igualdad son complicados (como $a=b=c$ o $a=b, c=0$).
La forma estándar de aplicarlo es reescribir una diferencia cíclica $f(a,b,c) \ge 0$ en la forma canónica de SOS: $$ S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2 \ge 0 $$ donde $S_a, S_b, S_c$ son funciones de $a, b, c$. El poder del método SOS está en los criterios que usas para determinar si algo es no negativo. Aunque la condición $S_a, S_b, S_c \ge 0$ es suficiente, no es necesaria. El método brilla cuando uno de los coeficientes es negativo, pero la suma total sigue siendo positiva por el tamaño relativo de las diferencias al cuadrado $(b-c)^2, (c-a)^2,$ y $(a-b)^2$.
Esta técnica está muy relacionada con la Desigualdad de Schur y suele ser el "último recurso" para desigualdades polinomiales difíciles en competencias como la USAMO o la IMO. Básicamente reduce problemas de desigualdades globales a un análisis local de los coeficientes, y muchas veces vas a necesitar suponer un orden (como $a \ge b \ge c$) para verificar ciertos criterios de la suma.
1. La Forma Canónica de SOS Cualquier polinomio simétrico homogéneo de grado $k$ en tres variables $a, b, c$ tal que $f(a,a,a) = 0$ lo puedes escribir de esta forma: $$ f(a,b,c) = S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2 $$ donde $S_a, S_b, S_c$ son expresiones en términos de $a, b, c$. Nota que $S_a$ es el coeficiente que corresponde a la variable $a$ que "falta" en el término de la diferencia $(b-c)$.
2. Condiciones Suficientes para la No Negatividad Para demostrar que $S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2 \ge 0$, supón sin perder generalidad que $a \ge b \ge c$. La desigualdad se cumple si se da cualquiera de estos conjuntos de condiciones:
3. Desigualdad de Schur (Grado $r$) La desigualdad de Schur es una aplicación directa de SOS. Para $a,b,c \ge 0$ y $r > 0$: $$ \sum_{cyc} a^r(a-b)(a-c) \ge 0 $$ Esto lo puedes reescribir en forma SOS con los coeficientes: $$ S_a = a^r, \quad S_b = b^r, \quad S_c = c^r $$ Sin embargo, la descomposición SOS estándar de Schur se suele escribir así: $$ \frac{b^r+c^r-a^r}{2}(b-c)^2 + \frac{c^r+a^r-b^r}{2}(c-a)^2 + \frac{a^r+b^r-c^r}{2}(a-b)^2 \ge 0 $$
Teorema: Sea $f(a,b,c) = S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2$. Si $a \ge b \ge c$, entonces $f(a,b,c) \ge 0$ se cumple siempre que $S_b \ge 0$, $S_b + S_a \ge 0$ y $S_b + S_c \ge 0$.
Demostración: Supón el orden $a \ge b \ge c$. Esto implica que la distancia entre $a$ y $c$ es la suma de las distancias entre $a,b$ y $b,c$. Específicamente: $$ a - c = (a - b) + (b - c) $$ Si elevas esta expresión al cuadrado, obtienes: $$ (a-c)^2 = (a-b)^2 + (b-c)^2 + 2(a-b)(b-c) $$ Nota que como $a \ge b \ge c$, tanto $(a-b)$ como $(b-c)$ son no negativos, así que $(a-b)(b-c) \ge 0$. Por lo tanto, $(a-c)^2 \ge (a-b)^2 + (b-c)^2$.
Sustituye la expansión de $(a-c)^2$ en la expresión SOS original para el término con el coeficiente $S_b$: $$ \Sigma = S_a(b-c)^2 + S_b\left[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + 2(a-b)(b-c) \right] + S_c(a-b)^2 $$ Acomoda los términos agrupando $(b-c)^2$ y $(a-b)^2$: $$ \Sigma = (S_a + S_b)(b-c)^2 + (S_c + S_b)(a-b)^2 + 2S_b(a-b)(b-c) $$
Ahora analiza el signo de cada término basándote en las condiciones dadas:
Como la expresión $\Sigma$ es la suma de tres términos no negativos, concluyes que: $$ S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2 \ge 0 $$ $\square$