M_r ≤ M_s para r < s, donde M_r es la media de potencia r. Generaliza la cadena MC-MA-MG-MH.
La Desigualdad de la Media de Potencias (DMP) es un resultado fundamental en el álgebra que establece una jerarquía entre las medias de un conjunto de números reales positivos. Generaliza la conocida cadena de desigualdades que involucra a la Media Armónica (MA), la Media Geométrica (MG), la Media Aritmética (MArit) y la Media Cuadrática (MC). La idea central de la DMP es la monotonicidad: la "media de potencia" de un conjunto de números es una función no decreciente del exponente que usas para calcularla.
En las matemáticas de competencia, como el AIME o la USAMO, la Desigualdad de la Media de Potencias es una herramienta poderosa para acotar expresiones que involucran sumas de potencias. Aunque la desigualdad AM-GM es la herramienta que más usas para exponentes de 1 y 0, la DMP te permite manejar exponentes reales arbitrarios. Es especialmente útil cuando quieres demostrar desigualdades donde las variables están elevadas a potencias $r$ y $s$, y quieres mostrar que la expresión con la potencia más alta da un valor mayor (después de normalizarla adecuadamente).
Intuitivamente, conforme el exponente $r$ aumenta, la media se ve más influenciada por los números más grandes del conjunto. Cuando $r \to \infty$, la media de potencia se acerca al elemento máximo del conjunto; cuando $r \to -\infty$, se acerca al mínimo. Este comportamiento explica por qué la media aumenta conforme el exponente crece: los exponentes más grandes "premian" más a los valores atípicos altos que los exponentes pequeños.
Toma $x_1, x_2, \dots, x_n$ como números reales positivos. Para cualquier número real $r \neq 0$, la $r$-ésima media de potencia $M_r$ la definimos como: $$ M_r(x_1, \dots, x_n) = \left( \frac{x_1^r + x_2^r + \dots + x_n^r}{n} \right)^{\frac{1}{r}} $$
Para el caso específico donde $r=0$, definimos la media por el límite cuando $r \to 0$, lo que te da la Media Geométrica: $$ M_0(x_1, \dots, x_n) = \lim_{r \to 0} M_r = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} $$
El Teorema de la Desigualdad de la Media de Potencias: Para cualesquiera números reales $r$ y $s$ tales que $r < s$, se cumple la siguiente desigualdad: $$ M_r(x_1, \dots, x_n) \le M_s(x_1, \dots, x_n) $$ La igualdad se cumple si y solo si $x_1 = x_2 = \dots = x_n$.
Casos Especiales Comunes: La cadena $M_{-1} \le M_0 \le M_1 \le M_2$ corresponde a las desigualdades de medias estándar: $$ \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} \le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \le \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \le \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n}} $$ (MA $\le$ MG $\le$ MArit $\le$ MC)
Casos Extremos: $$ M_{-\infty} = \min(x_1, \dots, x_n) \quad \text{y} \quad M_{+\infty} = \max(x_1, \dots, x_n) $$
Aquí tienes la demostración para el caso $0 < r < s$ usando la Desigualdad de Jensen, que es el método más instructivo para entender las propiedades de convexidad detrás del teorema. Los casos que involucran exponentes negativos o límites siguen una lógica o sustitución parecida.
Meta: Demostrar que para $x_i > 0$ y $0 < r < s$: $$ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^r \right)^{\frac{1}{r}} \le \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^s \right)^{\frac{1}{s}} $$
Paso 1: Transformación de variables Toma $y_i = x_i^r$. Como $x_i > 0$, entonces $y_i > 0$. Puedes expresar $x_i^s$ en términos de $y_i$: $$ x_i^s = (x_i^r)^{\frac{s}{r}} = y_i^{\frac{s}{r}} $$ Al sustituir esto en la desigualdad que quieres probar, lo que hay que mostrar es: $$ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right)^{\frac{1}{r}} \le \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^{\frac{s}{r}} \right)^{\frac{1}{s}} $$
Paso 2: Simplifica la desigualdad Eleva ambos lados de la desigualdad a la potencia $s$ (como $s > 0$, el sentido de la desigualdad se mantiene): $$ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right)^{\frac{s}{r}} \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^{\frac{s}{r}} $$
Paso 3: Aplica la Desigualdad de Jensen Sea $f(t) = t^{\frac{s}{r}}$. Como $0 < r < s$, el exponente $p = \frac{s}{r}$ cumple que $p > 1$. Checa la convexidad de $f(t)$ para $t > 0$ calculando la segunda derivada: $$ f'(t) = p t^{p-1} $$ $$ f''(t) = p(p-1) t^{p-2} $$ Como $p > 1$, tienes que $p(p-1) > 0$. Para $t > 0$, $t^{p-2} > 0$. Por lo tanto, $f''(t) > 0$, lo que implica que $f(t) = t^{s/r}$ es una función estrictamente convexa en $(0, \infty)$.
La Desigualdad de Jensen dice que para una función convexa $f$: $$ f\left( \frac{\sum y_i}{n} \right) \le \frac{\sum f(y_i)}{n} $$
Sustituyendo $f(t) = t^{s/r}$: $$ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right)^{\frac{s}{r}} \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^{\frac{s}{r}} $$
Esto coincide con la desigualdad que obtuviste en el Paso 2. Como los pasos son reversibles (al elevar a potencias positivas), la desigualdad original $M_r \le M_s$ queda demostrada. Como $f(t)$ es estrictamente convexa, la igualdad se cumple si y solo si $y_1 = y_2 = \dots = y_n$, lo cual implica que $x_1 = x_2 = \dots = x_n$.
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