Desigualdad MA-MG

Teoría

La desigualdad de la media aritmética y la media geométrica (MA-MG) es una de las desigualdades más fundamentales y usadas en las matemáticas. Dice que para cualquier conjunto de números reales no negativos, la media aritmética siempre es mayor o igual que la media geométrica, y la igualdad se cumple si y solo si todos los números son iguales.

El poder de MA-MG está en lo simple que es y en que la puedes aplicar en muchísimos lados. Es muy útil para:

• Encontrar valores mínimos o máximos de expresiones
• Probar otras desigualdades
• Problemas de optimización donde los productos y las sumas están relacionados

Fórmulas Clave

Dos variables: $$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$ para $a, b \geq 0$, con la igualdad si y solo si $a = b$.

n variables: $$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}$$ para $a_i \geq 0$, con la igualdad si y solo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$.

MA-MG ponderada: $$\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \cdots