f(xy) = f(x)f(y), con soluciones como f(x) = x^c o f(x) = 0.
La Ecuación Multiplicativa de Cauchy es una de las cuatro ecuaciones funcionales fundamentales de Cauchy. La definimos con la relación $f(xy) = f(x)f(y)$ para todos los valores de $x, y$ en el dominio. Esta ecuación caracteriza a las funciones potencia. En el contexto de las olimpiadas de matemáticas, identificar esta estructura te permite simplificar una relación funcional compleja a una forma específica, que normalmente es $f(x) = x^c$ o la solución trivial $f(x) = 0$.
Esta ecuación es clave porque funciona como un puente entre estructuras multiplicativas y aditivas. Si usas técnicas de sustitución —específicamente reemplazando variables con términos exponenciales o sacando logaritmos— a menudo puedes transformar la ecuación multiplicativa en la Ecuación Aditiva de Cauchy ($g(u+v) = g(u) + g(v)$). Esta transformación es una técnica estándar en competencias como el AIME y la USAMO.
Sin embargo, las soluciones dependen mucho del dominio y el codominio de la función. Aunque la solución estándar sobre los números reales positivos es $f(x) = x^c$, si extiendes el dominio a todos los reales la cosa se pone más difícil por el signo de $x$. Además, igual que en la ecuación aditiva, existen soluciones "patológicas" (extrañas) a menos que se cumplan condiciones específicas de regularidad, como continuidad, monotonía, acotación o medibilidad. En la mayoría de los problemas de competencia, estas condiciones ya vienen dadas o tú mismo las puedes deducir.
La Ecuación $$f(xy) = f(x)f(y)$$
Soluciones Generales (bajo condiciones de regularidad)
Dominio $\mathbb{R}^+$ (Reales Positivos): Si $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ es continua (o acotada/monótona), las soluciones son: $$f(x) = 0 \quad \text{o} \quad f(x) = x^c$$ donde $c$ es una constante real arbitraria.
Dominio $\mathbb{R}$ (Todos los Reales): Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua, las soluciones son: $$f(x) = 0, \quad f(x) = |x|^c, \quad \text{o} \quad f(x) = \text{sgn}(x)|x|^c$$ donde $c$ es una constante no negativa (si $f(0)=0$) o una constante arbitraria (si $f(0)$ no está definido o está excluido). Nota que $f(x) = 1$ es el caso donde $c=0$.
Transformación a la Forma Aditiva Para $x, y > 0$ y $f(x) > 0$, la sustitución $x = e^u, y = e^v$ y $g(u) = \ln(f(e^u))$ resulta en: $$g(u+v) = g(u) + g(v)$$
Teorema: Sea $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ una función continua que cumple $f(xy) = f(x)f(y)$ para todas las $x, y \in \mathbb{R}^+$. Entonces $f(x) = 0$ o $f(x) = x^c$ para alguna constante $c$.
Demostración:
Paso 1: Analiza el caso trivial y los signos. Primero, observa que $f(x) = f(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}) = f(\sqrt{x})^2 \geq 0$. Por lo tanto, $f(x)$ nunca es negativa para ninguna $x$. Si existe algún $x_0$ tal que $f(x_0) = 0$, entonces para cualquier $x$, tienes: $$f(x) = f(x/x_0 \cdot x_0) = f(x/x_0)f(x_0) = f(x/x_0) \cdot 0 = 0$$ Esto te da la solución trivial $f(x) \equiv 0$. De aquí en adelante, supón que $f(x)$ no es siempre cero. Como $f(x) \geq 0$ y $f(x)$ nunca es $0$, debes tener que $f(x) > 0$ para toda $x \in \mathbb{R}^+$.
Paso 2: Transforma a la Ecuación Aditiva de Cauchy. Como $x, y \in \mathbb{R}^+$, puedes escribir $x = e^u$ y $y = e^v$ para algunos $u, v \in \mathbb{R}$. Como $f(x) > 0$, puedes definir una nueva función $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mediante: $$g(u) = \ln(f(e^u))$$ Sustituye $x=e^u$ y $y=e^v$ en la ecuación original $f(xy) = f(x)f(y)$: $$f(e^{u+v}) = f(e^u)f(e^v)$$ Si sacas el logaritmo natural en ambos lados: $$\ln(f(e^{u+v})) = \ln(f(e^u)f(e^v))$$ Usa las propiedades de los logaritmos ($\ln(ab) = \ln a + \ln b$): $$\ln(f(e^{u+v})) = \ln(f(e^u)) + \ln(f(e^v))$$ En términos de $g$, esto se convierte en: $$g(u+v) = g(u) + g(v)$$ ¡Esta es la Ecuación Aditiva de Cauchy!
Paso 3: Resuelve para $g(u)$ y sustituye de vuelta. Como $f$ es continua, la composición $g(u) = \ln(f(e^u))$ también es continua. Las únicas soluciones continuas para la Ecuación Aditiva de Cauchy son de la forma: $$g(u) = cu$$ para alguna constante $c \in \mathbb{R}$.
Paso 4: Recupera $f(x)$. Sustituye de vuelta en la definición de $g(u)$: $$\ln(f(e^u)) = cu$$ Aplica la función exponencial en ambos lados: $$f(e^u) = e^{cu} = (e^u)^c$$ Si recuerdas que $x = e^u$, concluyes que: $$f(x) = x^c$$
Por lo tanto, las soluciones son $f(x) = 0$ o $f(x) = x^c$. $\square$