Se da la igualdad cuando ai/bi es constante.
La desigualdad de Cauchy-Schwarz es una herramienta básica en el álgebra. Te dice que para cualquier par de sucesiones de números reales $a_1, \dots, a_n$ y $b_1, \dots, b_n$, el producto de las sumas de sus cuadrados es al menos el cuadrado de la suma de sus productos. Aunque encontrar la cota es útil, la condición de igualdad suele ser la clave para resolver problemas avanzados de Olimpiada. La igualdad se cumple si y solo si las dos sucesiones son proporcionales; o sea, una sucesión es un múltiplo escalar de la otra. En términos geométricos, si tratas las sucesiones como vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ en $\mathbb{R}^n$, la igualdad pasa justo cuando los vectores son colineales (paralelos).
Entender el caso de igualdad es súper importante por dos razones principales. Primero, en problemas de optimización (donde buscas mínimos o máximos), la desigualdad de Cauchy-Schwarz te da una cota, pero esa cota solo la puedes alcanzar si la condición de igualdad se cumple dentro de las restricciones del problema. Si la condición te lleva a una contradicción con el dominio de las variables, entonces la cota no es el verdadero máximo o mínimo. Segundo, la condición de igualdad te deja resolver sistemas de ecuaciones. Si una ecuación dada cumple el caso límite de Cauchy-Schwarz (por ejemplo, si el lado izquierdo es exactamente igual al derecho), puedes