Raíces $n$-ésimas de la unidad

Teoría

Las raíces $n$-ésimas de la unidad son las soluciones en los números complejos a la ecuación $z^n = 1$. Por el Teorema Fundamental del Álgebra, hay exactamente $n$ de estas raíces. Aunque $z=1$ siempre es una solución, las otras raíces están fuera del eje real (excepto por $z=-1$ cuando $n$ es par). Geométricamente, estas raíces corresponden a los vértices de un $n$-ágono regular centrado en el origen del plano complejo, con un vértice en $(1, 0)$. Como están sobre el círculo unitario, todas las raíces tienen magnitud $1$.

Este concepto aparece por todos lados en las matemáticas de competencia, especialmente en el AMC 12 y el AIME, porque conecta el álgebra, la geometría y la teoría de números. Las raíces de la unidad te permiten simplificar polinomios complejos, evaluar sumas trigonométricas y aplicar simetría rotacional. Una idea clave es que las raíces forman un grupo cíclico bajo la multiplicación. Si $\omega$ es una raíz $n$-ésima "primitiva" de la unidad, entonces puedes generar el conjunto de todas las raíces como ${1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}}$.

Al resolver problemas, las raíces $n$-ésimas de la unidad las usas seguido para factorizar polinomios como $x^n - 1$ o para usar el "filtro de raíces de la unidad", una técnica que sirve para aislar términos en una expansión binomial donde los índices son congruentes módulo $n$. Entender las propiedades de la suma y el producto de estas raíces es esencial para resolver sistemas de ecuaciones y reducir expresiones de grado alto.

Fórmulas Clave

Definición y forma explícita Las $n$ raíces $n$-ésimas de la unidad distintas las obtienes con: $$ \omega_k = e^{i \frac{2\pi k}{n}} = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) $$ para $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Suma de las raíces Para cualquier entero $n > 1$, la suma de las raíces $n$-ésimas de la unidad es cero: $$ \sum_{k=0}^{n-1} e^{i \frac{2\pi k}{n}} = 1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{n-1} = 0 $$ donde $\omega = e^{i \frac{2\pi}{n}}$.

Producto de las raíces El producto de las raíces $n$-ésimas de la unidad es: $$ \prod_{k=0}^{n-1} \omega_k = (-1)^{n-1} $$

Factorización de polinomios El polinomio $z^n - 1$ lo factorizas sobre los números complejos como: $$ z^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (z - \omega_k) = (z-1)(z-\omega)(z-\omega^2)\dots(z-\omega^{n-1}) $$ Esto implica esta identidad tan útil para la suma de una serie geométrica: $$ z^{n-1} + z^{n-2} + \dots + z + 1 = \prod_{k=1}^{n-1} (z - \omega^k) $$

Demostración

Teorema: Las soluciones de $z^n = 1$ son exactamente los números $e^{i \frac{2\pi k}{n}}$ para $k=0, 1, \dots, n-1$.

Demostración:

Paso 1: Escribe $z$ en forma polar Toma un número complejo $z$ escrito en forma polar como $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$, donde $r > 0$ y $\theta \in \mathbb{R}$.

Paso 2: Aplica el Teorema de De Moivre Lo que quieres es resolver $z^n = 1$. Usando el Teorema de De Moivre, eleva $z$ a la $n$-ésima potencia: $$ z^n = (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) $$ Igualas esto a $1$, que puedes escribir en forma polar como $1 \cdot (\cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k))$ para cualquier entero $k$. $$ r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) = 1(\cos(0) + i \sin(0)) $$

Paso 3: Iguala el módulo y el argumento Para que dos números complejos sean iguales, sus magnitudes deben ser iguales y sus argumentos deben diferir por un múltiplo entero de $2\pi$.

1. Magnitud: $r^n = 1$. Como $r$ es un número real positivo, la única solución es $r = 1$.
2. Argumento: $n\theta = 0 + 2\pi k$ para cualquier entero $k$. Si despejas $\theta$, obtienes: $$ \theta_k = \frac{2\pi k}{n} $$

Paso 4: Determina las raíces distintas Sustituye $r=1$ y $\theta_k$ de vuelta en la expresión de $z$: $$ z_k = 1 \cdot e^{i \frac{2\pi k}{n}} = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) $$ Aunque $k$ puede ser cualquier entero, los valores de $e^{i \frac{2\pi k}{n}}$ se repiten cada $n$ enteros porque el seno y el coseno tienen un periodo de $2\pi$. Específicamente, $z_{n} = e^{i \frac{2\pi n}{n}} = e^{i 2\pi} = 1 = z_0$. Por lo tanto, para obtener exactamente $n$ raíces distintas, limita $k$ al conjunto ${0, 1, 2, \dots, n-1}$.

Así, las raíces $n$-ésimas de la unidad son exactamente $\omega_k = e^{i \frac{2\pi k}{n}}$ para $k = 0, \dots, n-1$.

$\square$