x², eˣ, ln(x), sen(x) en intervalos.
La Desigualdad de Jensen es una herramienta poderosa en álgebra, específicamente para acotar sumas y productos, pero su utilidad depende totalmente de la función generadora $f(x)$ que elijas. La desigualdad dice que para una función convexa, la función del promedio es menor o igual al promedio de las funciones (y al revés para funciones cóncavas). Por eso, el "arte" de usar la Desigualdad de Jensen en matemáticas de olimpiada está en identificar una función $f(x)$ escondida dentro de una expresión algebraica y determinar si es convexa o cóncava en un intervalo específico.
Dominar las funciones comunes te permite reconocer patrones de inmediato. Por ejemplo, ver una suma de cuadrados sugiere $f(x)=x^2$; si tienes un producto que quieres maximizar, muchas veces conviene tomar logaritmos para aprovechar la concavidad de $f(x)=\ln(x)$; y las expresiones con exponentes te llevan de forma natural a $f(x)=e^x$. El paso crucial al aplicar estas funciones es verificar la segunda derivada, $f''(x)$. Si $f''(x) \ge 0$ en el intervalo, la función es convexa; si $f''(x) \le 0$, es cóncava.
Es vital que pongas mucha atención al dominio de las variables. Una función como $f(x) = \sin(x)$ es cóncava en $[0, \pi]$ pero convexa en $[\