(a+b)/2 ≥ √(ab).
La desigualdad de la Media Aritmética - Media Geométrica (AM-GM) es una de las herramientas más fundamentales y usadas para resolver problemas de álgebra, desde competencias básicas como el AMC 10 hasta olimpiadas avanzadas como la USAMO. Específicamente para dos variables, el teorema dice que para cualquier par de números reales no negativos $a$ y $b$, la media aritmética es mayor o igual que la media geométrica. La igualdad se cumple si y solo si $a = b$. Esta relación te da una conexión clave entre la suma de dos números y su producto, lo que te permite acotar un valor basándote en el otro.
En las matemáticas de competencia, vas a usar AM-GM principalmente para problemas de optimización —como encontrar valores mínimos o máximos sin tener que usar cálculo— y para demostrar desigualdades algebraicas más complejas. Una aplicación clásica es minimizar una suma $a+b$ cuando el producto $ab$ es fijo, o maximizar el producto cuando la suma es fija. Como la desigualdad solo funciona con números reales no negativos, es súper importante que revises el dominio de las variables antes de aplicar el teorema.
Puedes entender la lógica detrás de AM-GM algebraicamente con la propiedad de que los cuadrados de los números reales nunca son negativos, o también de forma geométrica. Geométricamente, si construyes un semicírculo con diámetro $a+b$, el radio es la media aritmética $\frac{a+b}{2}$. La longitud de la línea perpendicular desde el diámetro hasta el círculo, justo en el punto donde se juntan los segmentos $a$ y $b$, es la media geométrica $\sqrt{ab}$. Como el radio es la distancia más larga desde el centro hasta el borde, la media aritmética tiene que ser al menos tan grande como la media geométrica.
Forma Estándar Para números reales no negativos $a, b \ge 0$: $$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$
Formas de Suma y Producto Estas variaciones suelen ser más prácticas cuando estás haciendo manipulaciones algebraicas: $$ a+b \ge 2\sqrt{ab} $$ $$ ab \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 $$
Identidad del Recíproco Un caso especial que sale muchísimo es cuando $b = \frac{1}{a}$ (para $a > 0$): $$ a + \frac{1}{a} \ge 2 $$
Condición de Igualdad La igualdad se cumple si y solo si las variables son iguales: $$ \frac{a+b}{2} = \sqrt{ab} \iff a = b $$
Aquí tienes la demostración algebraica estándar. Se basa en algo muy simple: el cuadrado de cualquier número real no puede ser negativo.
Teorema: Para números reales no negativos $a, b$, $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
Demostración: Como $a$ y $b$ no son negativos, sus raíces cuadradas $\sqrt{a}$ y $\sqrt{b}$ son números reales que sí existen. Considera el cuadrado de la diferencia de estas raíces. Para cualquier número real, el cuadrado tiene que ser mayor o igual a cero:
$$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0 $$
Ahora, desarrolla el lado izquierdo usando el binomio al cuadrado $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$$ (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \ge 0 $$
Si simplificas los términos (recuerda que como $a, b \ge 0$, entonces $(\sqrt{a})^2 = a$):
$$ a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0 $$
Luego, suma $2\sqrt{ab}$ a ambos lados de la desigualdad:
$$ a + b \ge 2\sqrt{ab} $$
Finalmente, al dividir ambos lados entre 2, llegas a la forma estándar de la desigualdad AM-GM:
$$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$
Condición de Igualdad: La desigualdad se convierte en igualdad si y solo si el término del principio es cero: $$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0 $$ $$ \sqrt{a} - \sqrt{b} = 0 $$ $$ \sqrt{a} = \sqrt{b} $$ $$ a = b $$
Por lo tanto, la igualdad se cumple si y solo si $a=b$. $\square$