Suma y producto de raíces.
Las fórmulas de Vieta establecen una relación fundamental entre los coeficientes de un polinomio y las sumas y productos de sus raíces. En el contexto de una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$, estas fórmulas te permiten determinar la suma y el producto de las raíces directamente desde los coeficientes $a$, $b$ y $c$, sin que tengas que calcular las raíces explícitamente usando la fórmula general. Esto es súper útil porque las raíces de una cuadrática pueden ser irracionales o complejas, lo que haría que la aritmética directa fuera muy pesada, mientras que los coeficientes suelen ser enteros.
Esta técnica aparece en todos lados en las matemáticas de competencia porque facilita mucho evaluar polinomios simétricos de las raíces. Por ejemplo, si te piden encontrar la suma de los cuadrados de las raíces ($r_1^2 + r_2^2$), no necesitas encontrar $r_1$ y $r_2$ por separado. En lugar de eso, puedes expresar $r_1^2 + r_2^2$ algebraicamente en términos de la suma $(r_1+r_2)$ y el producto $(r_1r_2)$, los cuales obtienes fácilmente con las fórmulas de Vieta. Este enfoque convierte problemas complejos de encontrar raíces en problemas más sencillos de manipulación algebraica.
La idea detrás de las fórmulas de Vieta viene del Teorema del Factor. Si un número $r$ es raíz de un polinomio $P(x)$, entonces $(x-r)$ tiene que ser un factor de ese polinomio. Por lo tanto, puedes reconstruir una cuadrática con raíces $r_1$ y $r_2$ expandiendo la expresión $a(x-r_1)(x-r_2)$. Al comparar los coeficientes de esta forma expandida con la forma estándar $ax^2+bx+c$, las relaciones entre las raíces y los coeficientes se vuelven evidentes de inmediato.
Para una ecuación cuadrática de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$, digamos que las raíces son $r_1$ y $r_2$.
Fórmulas principales: $$ r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} $$ $$ r_1 r_2 = \frac{c}{a} $$
Identidades algebraicas útiles con raíces: Usando la suma $S = r_1+r_2$ y el producto $P = r_1r_2$, puedes sacar los valores de otras expresiones simétricas:
Obtienes las fórmulas de Vieta comparando los coeficientes de la ecuación cuadrática estándar con su forma factorizada.
Paso 1: Define el polinomio Considera la ecuación cuadrática: $$ax^2 + bx + c = 0$$ donde $a, b, c \in \mathbb{C}$ y $a \neq 0$. Digamos que las raíces de esta ecuación son $r_1$ y $r_2$.
Paso 2: Aplica el Teorema del Factor Por el Teorema Fundamental del Álgebra y el Teorema del Factor, si $r_1$ y $r_2$ son raíces del polinomio cuadrático $P(x) = ax^2 + bx + c$, entonces $(x - r_1)$ y $(x - r_2)$ son factores lineales de $P(x)$. Como el coeficiente principal de $P(x)$ es $a$, puedes escribir el polinomio en su forma factorizada como: $$ax^2 + bx + c = a(x - r_1)(x - r_2)$$
Paso 3: Expande la forma factorizada Expande el lado derecho: $$ \begin{aligned} a(x - r_1)(x - r_2) &= a\left(x^2 - r_1x - r_2x + r_1r_2\right) \ &= a\left(x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1r_2\right) \ &= ax^2 - a(r_1 + r_2)x + a(r_1r_2) \end{aligned} $$
Paso 4: Iguala los coeficientes Ahora compara los coeficientes de la forma expandida con la forma estándar original $ax^2 + bx + c$:
Paso 5: Despeja la suma y el producto De la ecuación para el coeficiente lineal: $$b = -a(r_1 + r_2) \implies r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}$$
De la ecuación para el término constante: $$c = a(r_1r_2) \implies r_1r_2 = \frac{c}{a}$$
Así, las fórmulas quedan demostradas. $\square$