Fórmulas de Vieta

Teoría

Las fórmulas de Vieta establecen una relación fundamental entre los coeficientes de un polinomio y los polinomios simétricos elementales de sus raíces. Llamadas así por el matemático francés François Viète (1540-1603), estas fórmulas te dan herramientas muy útiles para problemas que involucran raíces sin tener que encontrarlas explícitamente.

La idea clave es que los coeficientes guardan información sobre sumas, productos y otras combinaciones simétricas de las raíces. Esto te sirve mucho cuando quieres:

• Encontrar relaciones entre las raíces.
• Construir polinomios con propiedades específicas en sus raíces.
• Resolver sistemas donde te dan funciones simétricas de las incógnitas.
• Resolver problemas de olimpiada que piden expresiones que involucran raíces.

Fórmulas Clave

Cuadrática: Para $ax^2 + bx + c = 0$ con raíces $r, s$: $$r + s = -\frac{b}{a}, \quad rs = \frac{c}{a}$$

Cúbica: Para $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ con raíces $r, s, t$: $$r + s + t = -\frac{b}{a}$$ $$rs + rt + st = \frac{c}{a}$$ $$rst = -\frac{d}{a}$$

General (Mónico): Para $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$ con raíces $r_1, \ldots, r_n$: $$\sum_{i} r_i = -a_{n-1}$$ $$\sum_{i < j} r_i r_j = a_{n-2}$$ $$\sum_{i < j < k} r_i r_j r_k = -a_{n-3}$$ $$\vdots$$ $$r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n a_0$$

Forma compacta: $$e_k(r_1, \ldots, r_n) = (-1)^k a_{n-k}$$

donde $e_k$ es el $k$-ésimo polinomio simétrico elemental.

Demostración

Demostración para el caso general:

Toma $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ con raíces $r_1, r_2, \ldots, r_n$.

Por el teorema del factor: $$P(x) = a_n(x - r_1)(x - r_2) \cdots (x - r_n)$$

Divide entre $a_n$ para obtener el polinomio mónico: $$\frac{P(x)}{a_n} = (x - r_1)(x - r_2) \cdots (x - r_n)$$

Expande el lado derecho: $$(x - r_1)(x - r_2) \cdots (x - r_n)$$

Al expandir, el coeficiente de $x^{n-k}$ viene de elegir $(n-k)$ factores que aportan $x$ y $k$ factores que aportan $-r_i$.

Coeficiente de $x^{n-1}$: Elige 1 factor para que dé $-r_i$, y los demás dan $x$: $$-(r_1 + r_2 + \cdots + r_n) = -\sum_i r_i$$

Coeficiente de $x^{n-2}$: Elige 2 factores para que den $-r_i, -r_j$: $$(-r_i)(-r_j) = r_i r_j$$, que al sumarlo sobre todos los pares te da $\sum_{i < j} r_i r_j$.

Coeficiente de $x^{n-k}$ en general: $$(-1)^k \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} r_{i_1} r_{i_2} \cdots r_{i_k} = (-1)^k e_k(r_1, \ldots, r_n)$$

Si comparas con $\frac{P(x)}{a_n} = x^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}x^{n-1} + \cdots + \frac{a_0}{a_n}$:

$$\frac{a_{n-k}}{a_n} = (-1)^k e_k(r_1, \ldots, r_n)$$

Para polinomios mónicos ($a_n = 1$): $$a_{n-k} = (-1)^k e_k(r_1, \ldots, r_n)$$

O de forma equivalente: $$e_k = (-1)^k a_{n-k}$$ $\square$