f(xy) = f(x) + f(y), donde la solución típica es f(x) = c·log(x).
La Ecuación Logarítmica de Cauchy es una de las cuatro ecuaciones funcionales fundamentales de Cauchy. Está dada por la relación $f(xy) = f(x) + f(y)$, donde la función mapea una estructura multiplicativa a una estructura aditiva. Esta ecuación resume la propiedad fundamental de los logaritmos: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos. En las olimpiadas de matemáticas, vas a encontrar esta ecuación seguido en problemas definidos sobre los números reales positivos $\mathbb{R}^+$, ya que el logaritmo aparece de forma natural para argumentos positivos.
Entender esta ecuación es crucial porque sirve como un puente entre la multiplicación y la suma. Cuando te topes con una ecuación funcional que tenga productos dentro del argumento de la función y sumas afuera, sospecha de inmediato que la solución es logarítmica. La idea estándar para resolver esta ecuación consiste en reducirla a la Ecuación Aditiva de Cauchy ($A(x+y) = A(x) + A(y)$) usando un cambio de variable. Esta técnica de reducción es una herramienta muy potente para resolver ecuaciones funcionales más complejas, ya que transformas el dominio y el rango para simplificar la estructura.
Para que la solución se porte bien (es decir, $f(x) = c \ln x$), la función suele requerir una condición de regularidad, como ser continua, monótona o estar acotada en un intervalo. Sin estas condiciones, existen soluciones "salvajes" (parecidas a las soluciones de la base de Hamel para la ecuación aditiva), aunque estos casos patológicos casi nunca aparecen en olimpiadas estándar como el AIME o el USAMO, a menos que el problema evalúe explícitamente propiedades de teoría de conjuntos.
La Ecuación $$f(xy) = f(x) + f(y)$$ Normalmente la definimos para $x, y \in \mathbb{R}^+$.
La Solución General Bajo condiciones de regularidad estándar (por ejemplo, continuidad), la solución es: $$f(x) = c \ln x$$ donde $c$ es una constante arbitraria. Nota que $c \ln x$ es equivalente a $\log_b x$ para una base $b$ adecuada.
Propiedades Importantes
Teorema: Sea $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ una función continua que cumple $f(xy) = f(x) + f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}^+$. Entonces $f(x) = c \ln x$ para alguna constante $c$.
Demostración:
Paso 1: Transformación de variables Como el dominio es $\mathbb{R}^+$, puedes expresar las variables $x$ y $y$ como exponenciales de números reales. Toma $u = \ln x$ y $v = \ln y$, de modo que $x = e^u$ y $y = e^v$. Mientras $x, y$ varían en $(0, \infty)$, $u, v$ varían en $(-\infty, \infty)$.
Paso 2: Define una función compuesta Define una nueva función $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que: $$g(u) = f(e^u)$$ Como $f$ es continua y la función exponencial también lo es, $g$ también resulta ser continua.
Paso 3: Sustituye en la ecuación original Sustituye $x = e^u$ y $y = e^v$ en la ecuación original $f(xy) = f(x) + f(y)$: $$f(e^u \cdot e^v) = f(e^u) + f(e^v)$$ Usando las reglas de los exponentes, $e^u \cdot e^v = e^{u+v}$. Así: $$f(e^{u+v}) = f(e^u) + f(e^v)$$
Paso 4: Aplica la definición de $g$ Usando la definición $g(t) = f(e^t)$, la ecuación queda como: $$g(u+v) = g(u) + g(v)$$ Esta es la Ecuación Aditiva de Cauchy definida sobre los números reales.
Paso 5: Resuelve para $g(u)$ Ya es un resultado conocido que las soluciones continuas de la Ecuación Aditiva de Cauchy $g(u+v) = g(u) + g(v)$ son de la forma: $$g(u) = c \cdot u$$ donde $c$ es una constante real arbitraria ($c = g(1)$).
Paso 6: Recupera $f(x)$ Recuerda que $g(u) = f(e^u)$ y $u = \ln x$. Al sustituir esto de vuelta en la solución para $g$: $$f(e^u) = c \cdot u$$ $$f(x) = c \ln x$$
Por lo tanto, las soluciones continuas son funciones logarítmicas. $\square$