Versión con pesos: w₁a₁ + ... + wₙaₙ ≥ a₁^w₁ ... aₙ^wₙ donde la suma de los pesos es 1.
La desigualdad de la Media Aritmética - Media Geométrica Ponderada (AM-GM Ponderada) es una generalización muy potente de la desigualdad AM-GM clásica. Mientras que la AM-GM estándar trata a cada número de un conjunto con la misma importancia (básicamente asignando un peso de $\frac{1}{n}$ a cada una de las $n$ variables), la AM-GM ponderada te permite asignar pesos no negativos arbitrarios a las variables, siempre y cuando estos pesos sumen 1. Esta flexibilidad la convierte en una herramienta esencial en álgebra avanzada y problemas de optimización donde las variables aparecen con diferentes potencias o coeficientes.
En las olimpiadas de matemáticas, esta desigualdad se usa seguido para establecer límites en productos de variables elevadas a potencias específicas. Por ejemplo, si tienes que demostrar una desigualdad que involucra términos como $a^3b^2c$, la AM-GM estándar muchas veces no es suficiente porque trata a las variables de forma simétrica. La AM-GM ponderada te permite "ajustar" los pesos para que coincidan con los exponentes de la expresión que buscas. Sirve como un puente entre las desigualdades discretas y la optimización basada en cálculo, y está muy relacionada con el concepto de convexidad a través de la Desigualdad de Jensen.
La intuición detrás de la AM-GM ponderada se entiende mejor mediante la concavidad de la función logaritmo. Geométricamente, el logaritmo de un promedio aritmético es mayor o igual al promedio ponderado de los logaritmos. Al aplicar la función exponencial, esta relación se transforma en la afirmación de que la media aritmética ponderada siempre es mayor o igual que la media geométrica ponderada.
La Desigualdad AM-GM Ponderada General Toma $a_1, a_2, \dots, a_n$ como números reales no negativos, y $w_1, w_2, \dots, w_n$ como pesos reales no negativos tales que su suma esté normalizada: $$ \sum_{i=1}^n w_i = w_1 + w_2 + \dots + w_n = 1 $$
Entonces, la media aritmética ponderada es mayor o igual que la media geométrica ponderada: $$ \sum_{i=1}^n w_i a_i \ge \prod_{i=1}^n a_i^{w_i} $$ O, escrita de forma extendida: $$ w_1 a_1 + w_2 a_2 + \dots + w_n a_n \ge a_1^{w_1} a_2^{w_2} \dots a_n^{w_n} $$
Condición de Igualdad La igualdad se cumple si y solo si todos los $a_i$ que corresponden a pesos $w_i$ distintos de cero son iguales: $$ a_1 = a_2 = \dots = a_n $$
Forma No Normalizada Si los pesos $W_1, \dots, W_n$ son reales no negativos tales que $W = \sum W_i \neq 1$, puedes escribir la desigualdad como: $$ \frac{W_1 a_1 + \dots + W_n a_n}{W} \ge \left( a_1^{W_1} \dots a_n^{W_n} \right)^{\frac{1}{W}} $$
La demostración más instructiva y rigurosa de la desigualdad AM-GM ponderada se basa en la Desigualdad de Jensen aplicada a la función logaritmo natural.
Paso 1: Configuración Toma $a_1, \dots, a_n$ como números reales positivos (si algún $a_i = 0$, el lado derecho es 0 y la desigualdad se cumple de forma trivial porque el lado izquierdo es no negativo). Toma $w_1, \dots, w_n$ como pesos no negativos tales que $\sum_{i=1}^n w_i = 1$.
Paso 2: Analizando la función Considera la función $f(x) = \ln(x)$ definida para $x > 0$. Calcula la segunda derivada para determinar su convexidad: $$ f'(x) = \frac{1}{x} $$ $$ f''(x) = -\frac{1}{x^2} $$ Como $x^2 > 0$ para todo $x$ real distinto de cero, tienes que $f''(x) < 0$ para todo $x > 0$. Por lo tanto, $f(x) = \ln(x)$ es una función estrictamente cóncava.
Paso 3: Aplicando la Desigualdad de Jensen La Desigualdad de Jensen dice que para una función cóncava $f$, el promedio ponderado de los valores de la función es menor o igual que la función del promedio ponderado. Matemáticamente: $$ \sum_{i=1}^n w_i f(a_i) \le f\left( \sum_{i=1}^n w_i a_i \right) $$
Sustituyendo $f(x) = \ln(x)$: $$ \sum_{i=1}^n w_i \ln(a_i) \le \ln\left( \sum_{i=1}^n w_i a_i \right) $$
Paso 4: Manipulación algebraica Usando la regla de la potencia de los logaritmos, $w_i \ln(a_i) = \ln(a_i^{w_i})$. El lado izquierdo se convierte en: $$ \sum_{i=1}^n \ln(a_i^{w_i}) \le \ln\left( \sum_{i=1}^n w_i a_i \right) $$
Usando la regla del producto de los logaritmos, $\sum \ln(x_i) = \ln(\prod x_i)$: $$ \ln\left( \prod_{i=1}^n a_i^{w_i} \right) \le \ln\left( \sum_{i=1}^n w_i a_i \right) $$
Paso 5: Exponenciación Como la función exponencial $e^x$ es estrictamente creciente, puedes aplicar la exponencial a ambos lados sin cambiar el sentido de la desigualdad: $$ e^{\ln\left( \prod_{i=1}^n a_i^{w_i} \right)} \le e^{\ln\left( \sum_{i=1}^n w_i a_i \right)} $$
Esto se simplifica directamente a la desigualdad AM-GM ponderada: $$ \prod_{i=1}^n a_i^{w_i} \le \sum_{i=1}^n w_i a_i $$
Como $\ln(x)$ es estrictamente cóncava, la igualdad se cumple si y solo si $a_1 = a_2 = \dots = a_n$. $\square$