Ecuaciones de Cauchy y técnicas básicas de sustitución de valores.
Una ecuación funcional es una ecuación donde la incógnita es una función, en lugar de una variable específica. La meta es determinar todas las funciones $f$ (que generalmente van de los números reales a los reales) que cumplen con una relación dada para todos los valores en el dominio. A diferencia de las ecuaciones diferenciales, que dependen de límites y cálculo, las ecuaciones funcionales básicas en las olimpiadas de matemáticas se resuelven usando manipulación algebraica y sustitución. La más fundamental de todas es la Ecuación Funcional de Cauchy, $f(x+y) = f(x) + f(y)$, que resume el concepto de linealidad.
La técnica principal para resolver estos problemas es la sustitución. Como la ecuación debe cumplirse para todos los valores de $x$ y $y$ en el dominio, puedes sustituir valores específicos (como $0, 1, -x,$ o $x$) para deducir propiedades de la función. Tus metas comunes al sustituir incluyen encontrar valores específicos como $f(0)$ o $f(1)$, determinar si la función es par o impar ($f(-x) = \pm f(x)$), demostrar inyectividad ($f(a)=f(b) \implies a=b$), o demostrar sobreyectividad.
Entender las ecuaciones de Cauchy es crítico porque muchas ecuaciones funcionales complejas se pueden reducir a una de las cuatro formas de Cauchy mediante logaritmos o cambios de variable. Sin embargo, es vital que pongas atención al dominio (por ejemplo, $\mathbb{Q}$ vs $\mathbb{R}$) y a las condiciones de regularidad. Las soluciones estándar a las ecuaciones de Cauchy (como $f(x)=cx$) solo están garantizadas si la función cumple con una condición adicional, como ser continua, monótona, acotada en un intervalo, o si el dominio se limita a los números racionales. Sin estas condiciones, existen soluciones "patológicas" sobre los números reales.
Suponiendo que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua (o monótona/acotada), las soluciones generales son:
Ecuación Aditiva de Cauchy: $$f(x+y) = f(x) + f(y) \implies f(x) = cx$$ donde $c = f(1)$ es una constante arbitraria.
Ecuación Exponencial de Cauchy: $$f(x+y) = f(x)f(y)$$ Soluciones: $f(x) = a^x$ (para $a > 0$), o la solución trivial $f(x) = 0$.
Ecuación Logarítmica de Cauchy: $$f(xy) = f(x) + f(y)$$ Definida para $x, y > 0$. Solución: $f(x) = c \ln x$ (o $f(x) = \log_b x$).
Ecuación Multiplicativa de Cauchy: $$f(xy) = f(x)f(y)$$ Definida para $x, y > 0$. Soluciones: $f(x) = x^c$, o las soluciones triviales $f(x) = 0$ y $f(x) = 1$.
Una generalización de la ecuación aditiva relacionada con los puntos medios: $$f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(x)+f(y)}{2} \implies f(x) = cx + b$$
Sea $P(x, y)$ la afirmación de la ecuación funcional para entradas específicas.
Teorema: Sea $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ una función que cumple la Ecuación Aditiva de Cauchy $f(x+y) = f(x) + f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{Q}$. Entonces $f(x) = cx$ para todo $x \in \mathbb{Q}$, donde $c = f(1)$.
Demostración:
Paso 1: Establece que $f(0) = 0$. Toma $x=0$ y $y=0$. $$f(0+0) = f(0) + f(0) \implies f(0) = 2f(0) \implies f(0) = 0$$
Paso 2: Demuestra para los números naturales ($n \in \mathbb{N}$). Usa inducción para mostrar que $f(nx) = n f(x)$ para $n \in \mathbb{N}$. Caso base $n=1$: $f(1\cdot x) = 1 \cdot f(x)$, lo cual es trivial. Supón que $f(kx) = k f(x)$ se cumple para algún entero $k$. Entonces: $$f((k+1)x) = f(kx + x) = f(kx) + f(x) = k f(x) + f(x) = (k+1)f(x)$$ Por inducción, $f(nx) = n f(x)$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Específicamente, para $x=1$, sea $f(1) = c$. Entonces $f(n) = cn$ para todo $n \in \mathbb{N}$.
Paso 3: Extiende a los enteros ($z \in \mathbb{Z}$). Toma una $x$ arbitraria y sea $y = -x$. $$f(x + (-x)) = f(x) + f(-x)$$ $$f(0) = f(x) + f(-x)$$ Como $f(0)=0$, tienes que $0 = f(x) + f(-x)$, lo que implica que $f(-x) = -f(x)$. Como $f(n) = cn$ para enteros positivos, $f(-n) = -f(n) = -cn = c(-n)$. Así, $f(z) = cz$ para todo $z \in \mathbb{Z}$.
Paso 4: Extiende a los racionales ($q \in \mathbb{Q}$). Toma $x \in \mathbb{Q}$. Puedes escribir $x = \frac{p}{q}$ donde $p \in \mathbb{Z}$ y $q \in \mathbb{N}$. Considera $f(p)$. Por un lado, como $p$ es un entero, $f(p) = cp$. Por otro lado, usando la propiedad $f(nx) = n f(x)$ que obtuviste en el Paso 2: $$f(p) = f\left( q \cdot \frac{p}{q} \right) = q \cdot f\left( \frac{p}{q} \right)$$ Igualando las dos expresiones para $f(p)$: $$cp = q \cdot f\left( \frac{p}{q} \right)$$ Al dividir entre $q$: $$f\left( \frac{p}{q} \right) = c \cdot \frac{p}{q}$$ Por lo tanto, $f(x) = cx$ para todo $x \in \mathbb{Q}$.
(Nota: Para extender esta demostración a todos los números reales $x \in \mathbb{R}$, necesitas una condición adicional como la continuidad. Si $f$ es continua y $f(x)=cx$ para todos los racionales, entonces por la densidad de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$, $f(x)=cx$ para todos los reales). $\square$