Para secuencias ordenadas: n·Σaᵢbᵢ ≥ (Σaᵢ)(Σbᵢ) o ≤ dependiendo de cómo se ordenen.
La Desigualdad de la Suma de Chebyshev es un resultado fundamental en álgebra que relaciona la suma de los productos de dos sucesiones con el producto de sus sumas. Intuitivamente, formaliza la idea de que si tienes dos sucesiones "ordenadas de forma similar" (ambas crecientes o ambas decrecientes), los términos con magnitudes más grandes se emparejan entre sí, lo que da como resultado una suma total mayor. Al revés, si las sucesiones están "ordenadas de forma opuesta" (una creciente y la otra decreciente), los términos grandes se emparejan con los pequeños, minimizando la suma total. Este concepto está muy relacionado con la idea estadística de covarianza: para datos ordenados de forma similar, la covarianza es no negativa.
Esta desigualdad es una herramienta súper potente en las matemáticas de olimpiada, sobre todo para problemas que tienen sumas simétricas o cuando quieres ponerle cotas a expresiones que tienen productos. Te sirve como una generalización de la Desigualdad de Reordenamiento y se usa seguido para demostrar la Desigualdad de la Media de Potencias. Es especialmente útil cuando trabajas con sumas cíclicas o cuando una desigualdad te pide comparar el "promedio del producto" con el "producto de los promedios".
El truco clave para aplicar la desigualdad de Chebyshev es que identifiques o construyas dos sucesiones monótonas. Ya que estableces el orden de los términos (muchas veces sin pérdida de generalidad en desigualdades simétricas), Chebyshev te deja separar los términos del producto $a_i b_i$ en sumas individuales $\sum a_i$ y $\sum b_i$, lo que te simplifica muchísimo el manejo algebraico.
Toma $a_1, a_2, \dots, a_n$ y $b_1, b_2, \dots, b_n$ como dos sucesiones de números reales.
Caso 1: Ordenadas de forma similar Si las dos sucesiones son no decrecientes (o ambas no crecientes), es decir, $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$ y $b_1 \le b_2 \le \dots \le b_n$, entonces: $$ n \sum_{i=1}^n a_i b_i \ge \left( \sum_{i=1}^n a_i \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i \right) $$ La igualdad se cumple si y solo si $a_1 = a_2 = \dots = a_n$ o $b_1 = b_2 = \dots = b_n$.
Caso 2: Ordenadas de forma opuesta Si una sucesión es no decreciente y la otra es no creciente, es decir, $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$ y $b_1 \ge b_2 \ge \dots \ge b_n$, entonces: $$ n \sum_{i=1}^n a_i b_i \le \left( \sum_{i=1}^n a_i \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i \right) $$
Forma alternativa de "Media" A veces es más fácil que recuerdes la desigualdad como "la media del producto es mayor o igual al producto de las medias" para sucesiones ordenadas de forma similar: $$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i b_i \ge \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i \right) \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n b_i \right) $$
Aquí tienes la demostración para el caso ordenado de forma similar usando la técnica de la suma doble. La demostración para el caso ordenado de forma opuesta se hace igual.
Teorema: Toma $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$ y $b_1 \le b_2 \le \dots \le b_n$. Entonces $n \sum_{i=1}^n a_i b_i \ge (\sum_{i=1}^n a_i)(\sum_{i=1}^n b_i)$.
Demostración: Considera la cantidad $(a_i - a_j)(b_i - b_j)$ para cualquier par de índices $i, j \in {1, \dots, n}$. Como las sucesiones están ordenadas igual, si $a_i \ge a_j$, entonces $b_i \ge b_j$. Al revés, si $a_i \le a_j$, entonces $b_i \le b_j$. Por eso, los términos $(a_i - a_j)$ y $(b_i - b_j)$ siempre tienen el mismo signo (o uno es cero). Como consecuencia, su producto siempre es no negativo: $$ (a_i - a_j)(b_i - b_j) \ge 0 $$
Suma esta desigualdad sobre todos los pares posibles de $i$ y $j$ desde $1$ hasta $n$: $$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_i - a_j)(b_i - b_j) \ge 0 $$
Ahora, desarrolla el producto adentro de la suma: $$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_i b_i - a_i b_j - a_j b_i + a_j b_j) \ge 0 $$
Puedes separar esto en cuatro sumas distintas. Nota que los índices $i$ y $j$ son variables mudas independientes que recorren el mismo rango:
Sustituye esto de nuevo en la desigualdad: $$ n \sum_{i=1}^n a_i b_i - \left( \sum a_i \right)\left( \sum b_i \right) - \left( \sum a_i \right)\left( \sum b_i \right) + n \sum_{i=1}^n a_i b_i \ge 0 $$
Agrupa los términos semejantes: $$ 2n \sum_{i=1}^n a_i b_i - 2 \left( \sum_{i=1}^n a_i \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i \right) \ge 0 $$
Si divides toda la desigualdad entre 2, obtienes el resultado que buscabas: $$ n \sum_{i=1}^n a_i b_i \ge \left( \sum_{i=1}^n a_i \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i \right) $$ $\square$