Continuidad y otras condiciones que obligan a la función a portarse bien.
En el estudio de las ecuaciones funcionales, sobre todo a nivel olimpiada, es muy común que te encuentres con la Ecuación Funcional de Cauchy, $f(x+y) = f(x) + f(y)$. Aunque es fácil demostrar que $f(x) = cx$ para todos los números racionales $x \in \mathbb{Q}$, extender este resultado a todos los números reales $x \in \mathbb{R}$ requiere de algunas suposiciones extra. Sin estas suposiciones, existen soluciones "salvajes" no lineales (que puedes construir usando una base de Hamel de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$) cuyas gráficas son densas en el plano. A estas suposiciones adicionales las conocemos como condiciones de regularidad.
Las condiciones de regularidad son restricciones que le pones a la función —como continuidad, monotonía o acotación— que sirven para cerrar la brecha entre los números racionales y los reales. En las matemáticas de competencia, identificar una condición de regularidad suele ser el último paso de un problema. Una vez que logras reducir una ecuación funcional compleja a la de Cauchy (o a una variante como la de Jensen), aplicar una condición de regularidad te permite concluir que la solución tiene que ser lineal (o afín).
La intuición detrás de estas condiciones se basa en la densidad de los números racionales dentro de los reales. Como puedes aproximar cualquier número real tan bien como quieras con una sucesión de racionales,