A partir de f(xy) = f(x) + f(y).
La derivación de la forma logarítmica surge cuando resuelves una de las cuatro ecuaciones funcionales fundamentales de Cauchy: $f(xy) = f(x) + f(y)$. Esta ecuación caracteriza a las funciones que mandan un producto de argumentos a una suma de sus imágenes, que es justo la propiedad algebraica que define a los logaritmos. En las olimpiadas de matemáticas, identificar esta estructura te permite transformar un entorno multiplicativo en uno aditivo, lo que simplifica muchísimo las restricciones.
La forma estándar de resolver esta ecuación es reducirla a la ecuación lineal de Cauchy, $A(u+v) = A(u) + A(v)$, haciendo un cambio de variables. Mientras que la ecuación lineal de Cauchy tiene la solución $A(x) = cx$ (bajo condiciones de regularidad simples como la continuidad), la ecuación logarítmica te da como resultado $f(x) = c \ln x$. Esta transformación es una herramienta súper poderosa; te muestra que la estructura del dominio (el grupo multiplicativo de los números reales positivos) es isomorfa a la estructura del codominio (el grupo aditivo de los números reales) a través del mapa logarítmico.
En contextos de olimpiada, vas a notar que esta ecuación funcional suele aparecer con restricciones en el dominio, como $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$. Si no tienes suposiciones de regularidad (como continuidad, monotonía o acotación), existen soluciones "salvajes" usando